Terme

Sous-espace vectoriel engendré

Expression: sous-espace engendré, sous-espaces engendrés
Termes plus larges: Sous-espace vectoriel, Combinaison linéaire
Termes plus spécifiques: Famille génératrice
Cas particulier de: Sous-espace vectoriel
Condition de définition: Combinaison linéaire
Contexte de: Famille génératrice

Définition

Définition Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie

Soient \(p\in\mathbb{N}^*\) et \(S=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\) une famille finie de \(p\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\).

L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de \(S\) est appelé sous-espace engendré par la famille \(S\).

Propriété Nature du sous-espace vectoriel engendré

L’ensemble ainsi défini est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Notation Notation du sous-espace engendré

L’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_p\) est noté \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

Exemple résolu Détermination d’un sous-espace engendré de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Écritures du sous-espace engendré

\[\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)=\left\{u\in\mathbb{R}^n\mid \exists(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\ u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\right\}\]

\[\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)=\left\{\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\mid (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p\right\}\]

Remarque Appartenance au sous-espace engendré

\[u\in\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\ u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\]

Remarque Inclusion dans un sous-espace vectoriel

Pour montrer une propriété du type \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\)\(\subset E\), \(E\) étant un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), il suffit de montrer que les vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_p\) sont dans \(E\).

Remarque Transformations d’une famille engendrant le même sous-espace

\[\forall\lambda\in\mathbb{R}^*,\quad\operatorname{Vect}(\lambda u_1,u_2,\ldots,u_p)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\]

\[\forall i\in\left[\!\left[2,p\right]\!\right],\quad\forall\lambda\in\mathbb{R},\quad\operatorname{Vect}(u_1+\lambda u_i,u_2,\ldots,u_p)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\]

Si \(v\in\)\(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\), alors \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p,v)=\)\(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

Module : Sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^n\)