Terme

Représentation paramétrique

Expression: représentation paramétrique
Termes plus larges: droite-du-plan, Plan de l’espace, Droite de l’espace

Définition

Définition Représentation paramétrique d’une droite

Le plan est muni d’un repère \(\left(O,\vec i,\vec j\right)\). Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(x_0,y_0)\) et de vecteur directeur \(\vec v\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}\).

\[M\in(D)\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}=\lambda\vec v\Longleftrightarrow\begin{cases}x=x_0+\lambda\alpha\\y=y_0+\lambda\beta\end{cases},\quad\lambda\in\mathbb R\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \(\left(O,\vec i,\vec j\right)\), qui sont :

Ces formules constituent une représentation paramétrique de la droite \((D)\).

Exercice Droite passant par deux points réservé aux comptes

Exercice Lecture d’une représentation paramétrique réservé aux comptes

Module : Droites du plan

Définition Représentation paramétrique d’un plan

Soit \((P)\) le plan passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\begin{pmatrix}\alpha_1\\\beta_1\\\gamma_1\end{pmatrix}\) et \(\vec u_2\begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\\\gamma_2\end{pmatrix}\).

Le plan \((P)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2,\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2\\y=y_0+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2\\z=z_0+\lambda_1\gamma_1+\lambda_2\gamma_2\end{cases},\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique du plan \((P)\).

Remarque Plan défini par trois points

Une représentation paramétrique du plan \((P)\) défini par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés est donnée par :

\[M\in(P)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2,\quad\overrightarrow{AM}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}\]

Exercice Reconnaissance d’une représentation paramétrique de plan réservé aux comptes

Exercice Plan défini par trois points réservé aux comptes

Module : Plans de l’espace

Définition Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}\).

La droite \((D)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u,\quad\lambda\in\mathbb R\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda\alpha\\y=y_0+\lambda\beta\\z=z_0+\lambda\gamma\end{cases},\quad\lambda\in\mathbb R\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique de la droite \((D)\).

Module : Droites de l’espace