Kernevia
Compte

Terme

Plan de l’espace

Expression
plan de l’espace
Nom
plan, plans
Termes plus spécifiques
Coplanarité, Distance d’un point à un plan, Équation cartésienne d’un plan, Intersection de deux plans, Représentation paramétrique, Vecteur normal
Condition de définition
Colinéarité
Condition de définition de
Coplanarité, Équation cartésienne d’un plan, Intersection de deux plans, Vecteur normal
Contexte de
Distance d’un point à un plan

Définition

Définition Représentation paramétrique d’un plan

Soit \((P)\) le plan passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\begin{pmatrix}\alpha_1\\\beta_1\\\gamma_1\end{pmatrix}\) et \(\vec u_2\begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\\\gamma_2\end{pmatrix}\).

Le plan \((P)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2,\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2\\y=y_0+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2\\z=z_0+\lambda_1\gamma_1+\lambda_2\gamma_2\end{cases},\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique du plan \((P)\).

Remarque Plan défini par trois points

Une représentation paramétrique du plan \((P)\) défini par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés est donnée par :

\[M\in(P)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2,\quad\overrightarrow{AM}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}\]

Exercice Reconnaissance d’une représentation paramétrique de plan réservé aux comptes

Exercice Plan défini par trois points réservé aux comptes

Module : Plans de l’espace

Définition formelle

Définition Représentation paramétrique d’un plan

Soit \((P)\) le plan passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et dirigé par les vecteurs non colinéaires \(\vec u_1\begin{pmatrix}\alpha_1\\\beta_1\\\gamma_1\end{pmatrix}\) et \(\vec u_2\begin{pmatrix}\alpha_2\\\beta_2\\\gamma_2\end{pmatrix}\).

Le plan \((P)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda_1\vec u_1+\lambda_2\vec u_2,\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2\\y=y_0+\lambda_1\beta_1+\lambda_2\beta_2\\z=z_0+\lambda_1\gamma_1+\lambda_2\gamma_2\end{cases},\quad(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique du plan \((P)\).

Remarque Plan défini par trois points

Une représentation paramétrique du plan \((P)\) défini par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés est donnée par :

\[M\in(P)\Longleftrightarrow\exists(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb R^2,\quad\overrightarrow{AM}=\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{AC}\]

Exercice Reconnaissance d’une représentation paramétrique de plan réservé aux comptes

Exercice Plan défini par trois points réservé aux comptes

Module : Plans de l’espace

Caractérisation Équation cartésienne d’un plan

L’espace est muni d’un repère orthonormal \(\mathcal R\).

Tout plan \((P)\) admet, dans \(\mathcal R\), une équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\). Le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est alors un vecteur normal à \((P)\).

Réciproquement, toute équation de la forme \(ax+by+cz+d=0\) avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\) est une équation cartésienne d’un plan, et le vecteur \(\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) est un vecteur normal à \((P)\).

Exercice Équation cartésienne d’un plan défini par trois points réservé aux comptes

Exercice Représentation paramétrique d’un plan défini par son équation réservé aux comptes

Exercice Position relative de deux plans à partir de leurs équations réservé aux comptes

Module : Plans de l’espace