Terme
Loi binomiale
- Expression
- loi binomiale, lois binomiales
- Termes plus larges
- Loi de probabilité d’une variable aléatoire, Schéma de Bernoulli
- Cas particulier de
- Loi de probabilité d’une variable aléatoire
- Contexte
- Schéma de Bernoulli
Définition
Définition Loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\)
Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soit un schéma de Bernoulli d’ordre \(n\) dont la probabilité du succès est \(p\). Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ce schéma de Bernoulli. On appelle loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) la loi suivie par \(X\).
\[X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\]
Module : Loi binomiale
Définition formelle
Théorème Loi de probabilité d’une loi binomiale
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). Alors, pour tout \(k\in\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\) :
\[p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]
Remarque Somme des probabilités d’une loi binomiale
\[\sum_{k=0}^{n}p(X=k)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1\]
Exemple résolu Simulation d’un nombre de boules blanches réservé aux comptes
Module : Loi binomiale
Remarque Valeurs d’une variable suivant une loi binomiale