Module

Loi binomiale

Domaine: Probabilités
Prérequis: Loi de Bernoulli

Coefficients binomiaux dans un schéma de Bernoulli

Propriété Interprétation combinatoire du coefficient binomial

Le coefficient binomial \(\binom{n}{p}\) a été introduit comme le nombre de chemins comportant \(p\) succès en \(n\) épreuves dans un arbre binaire.

La définition théorique du coefficient binomial et l’interprétation combinatoire présentée ici coïncident.

Choisir les \(p\) répétitions où survient un succès parmi \(n\) répétitions revient à déterminer une partie à \(p\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments. Il y a donc \(\binom{n}{p}\) parties à \(p\) éléments dans un ensemble à \(n\) éléments.

Exemple résolu Tirage simultané de deux boules réservé aux comptes

Schéma et loi binomiale

Définition Schéma de Bernoulli d’ordre \(n\)

On réalise \(n\) essais identiques et indépendants d’une expérience à deux issues possibles, dont la probabilité du succès est \(p\). Il s’agit de la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

On note \(X\) le nombre de succès obtenus au cours de ce schéma de Bernoulli d’ordre \(n\).

Définition Loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\)

Soit \(n\) un entier naturel non nul. Soit un schéma de Bernoulli d’ordre \(n\) dont la probabilité du succès est \(p\). Soit \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ce schéma de Bernoulli. On appelle loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) la loi suivie par \(X\).

\[X\hookrightarrow\mathcal{B}(n,p)\]

Remarque Valeurs d’une variable suivant une loi binomiale

\[X(\Omega)=\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\]

Théorème Loi de probabilité d’une loi binomiale

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). Alors, pour tout \(k\in\left[\!\left[0,n\right]\!\right]\) :

\[p(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

Remarque Somme des probabilités d’une loi binomiale

\[\sum_{k=0}^{n}p(X=k)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1\]

Exemple résolu Simulation d’un nombre de boules blanches réservé aux comptes

Théorème Espérance et variance d’une loi binomiale

Si \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\), alors :

\[E(X)=np\]

\[V(X)=np(1-p)\]

Exemple résolu Nombre de feux franchissables sans arrêt réservé aux comptes