Terme
Limite infinie d’une fonction
- Nom
- limites infinies
- Expression
- tend vers \(+\infty\), tend vers −∞
- Termes plus larges
- Limite d’une fonction
- Termes plus spécifiques
- Asymptote verticale d’une courbe
- Cas particulier de
- Limite d’une fonction
- Conséquences
- Asymptote verticale d’une courbe
Définition
Définition Limite vers plus l’infini
Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\) si on a :
\[\text{pour }a\in\mathbb{R},\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow f(x)\ge A\]
Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=a\).
\[\text{pour }a=+\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge B\Rightarrow f(x)\ge A\]
\[\text{pour }a=-\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow f(x)\ge A\]
Notation Notations d’une limite vers plus l’infini
\[\lim_{a}f=+\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}+\infty\]
Module : Limites de fonctions
Définition Limite vers moins l’infini
Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(a\) si \(-f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\).
Notation Notations d’une limite vers moins l’infini
\[\lim_{a}f=-\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}-\infty\]
Module : Limites de fonctions
Définition formelle
Définition Limite vers plus l’infini
Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(f\) une fonction définie au voisinage de \(a\). Une fonction \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(a\) si on a :
\[\text{pour }a\in\mathbb{R},\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists h>0\ /\ \forall x\in I,\ |x-a|\le h\Rightarrow f(x)\ge A\]
Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=a\).
\[\text{pour }a=+\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\ge B\Rightarrow f(x)\ge A\]
\[\text{pour }a=-\infty,\qquad \forall A\in\mathbb{R},\ \exists B\in\mathbb{R}\ /\ \forall x\in I,\ x\le B\Rightarrow f(x)\ge A\]
Notation Notations d’une limite vers plus l’infini
\[\lim_{a}f=+\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{x\to a}f(x)=+\infty\qquad\text{ou}\qquad f(x)\underset{x\to a}{\longrightarrow}+\infty\]
Module : Limites de fonctions
Remarques Remarques
Remarque Formulation en un point réel
Graphiquement, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d’équation \(x=a\).
Remarque Formulation en plus l’infini
Remarque Formulation en moins l’infini