Intégrale impropre convergente

Définition Convergence sur un intervalle semi-ouvert

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b[\).

On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est convergente si la fonction \(F\), définie sur \([a,b[\) par \(x\mapsto F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(b^-\).

On pose alors \(\int_a^b f(t)\,dt=\lim_{x\to b^-}\int_a^x f(t)\,dt\).

Sinon, on dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est divergente.

Exemple résolu Nature d’une intégrale à singularité racine réservé aux comptes

Exemple résolu Nature d’une intégrale à pôle simple réservé aux comptes

Définition Convergence sur un intervalle ouvert

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\mathbb{R}\) tels que \(a<b\).

Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\).

On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est convergente si, pour tout \(c\) de \(]a,b[\), les intégrales \(\int_a^c f(t)\,dt\) et \(\int_c^b f(t)\,dt\) convergent.

En cas de convergence, on pose : \(\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt\).

Exemple résolu Nature d’une intégrale sur la droite réelle réservé aux comptes

Exemple résolu Nature d’une intégrale impaire sur la droite réelle réservé aux comptes