Module
Intégrales impropres
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Primitives et intégrales
- Notations
- Ensemble des réels achevés
Cadre général des intégrales impropres
Notation Ensemble des réels achevés
Définition Intégrale généralisée
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
On appelle intégrale généralisée ou intégrale impropre une intégrale du type \(\int_a^b f(t)\,dt\) où \(f\) est une fonction continue sur \([a,b[\), ou \(]a,b]\), ou \(]a,b[\).
Intégrales impropres sur un intervalle
Intégrales impropres sur un intervalle semi-ouvert
Définition Convergence sur un intervalle semi-ouvert
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b[\).
On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est convergente si la fonction \(F\), définie sur \([a,b[\) par \(x\mapsto F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), admet une limite finie quand \(x\) tend vers \(b^-\).
On pose alors \(\int_a^b f(t)\,dt=\lim_{x\to b^-}\int_a^x f(t)\,dt\).
Sinon, on dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est divergente.
Exemple résolu Nature d’une intégrale à singularité racine réservé aux comptes
Exemple résolu Nature d’une intégrale à pôle simple réservé aux comptes
Définition Écriture sur les intervalles semi-ouverts
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction continue sur l’intervalle semi-ouvert \(I\).
On a, sous réserve d’existence de la limite :
si \(I=]a,b]\), \(\int_a^b f(t)\,dt=\lim_{x\to a^+}\int_x^b f(t)\,dt\) ;
si \(I=[a,+\infty[\), \(\int_a^{+\infty} f(t)\,dt=\lim_{x\to+\infty}\int_a^x f(t)\,dt\) ;
si \(I=]-\infty,b]\), \(\int_{-\infty}^b f(t)\,dt=\lim_{x\to-\infty}\int_x^b f(t)\,dt\).
Exemple résolu Nature de l’intégrale harmonique en l’infini réservé aux comptes
Propriété Relation de Chasles
Soient \(a\) un réel et \(b\) un élément de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b[\).
L’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge si et seulement si, pour tout \(c\) de \([a,b[\), l’intégrale \(\int_c^b f(t)\,dt\) converge.
En cas de convergence, on a : \(\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt\).
Remarque Indépendance de la borne régulière
Cette propriété signifie que, lorsqu’on étudie la nature de l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) qui est impropre en \(b\), la valeur que l’on met à la place de \(a\) n’a aucune importance, tant qu’on met une valeur qui ne pose pas de problème.
On peut évidemment adapter cette propriété pour une intégrale impropre en \(a\).
Par exemple, comme l’intégrale \(\int_0^2 \frac{dt}{\sqrt{2-t}}\) converge alors l’intégrale \(\int_1^2 \frac{dt}{\sqrt{2-t}}\) converge.
Mais on a \(\int_1^2 \frac{dt}{\sqrt{2-t}}=2\) alors que l’on a \(\int_0^2 \frac{dt}{\sqrt{2-t}}=2\sqrt{2}\).
Comme l’intégrale \(\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}\) diverge alors l’intégrale \(\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t}\) diverge.
Intégrales impropres sur un intervalle ouvert
Définition Convergence sur un intervalle ouvert
Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\mathbb{R}\) tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\).
On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est convergente si, pour tout \(c\) de \(]a,b[\), les intégrales \(\int_a^c f(t)\,dt\) et \(\int_c^b f(t)\,dt\) convergent.
En cas de convergence, on pose : \(\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt\).
Remarque Indépendance du point de découpage
Cette définition ne dépend pas du choix de \(c\).
Exemple résolu Nature d’une intégrale sur la droite réelle réservé aux comptes
Exemple résolu Nature d’une intégrale impaire sur la droite réelle réservé aux comptes
Faux problème de prolongement continu
Propriété Convergence après prolongement continu
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Si \(f\) est continue sur \([a,b[\) et prolongeable par continuité en \(b\), alors l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge.
On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est faussement impropre.
Remarque Extension à un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\)
De manière analogue, si une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I\) d’extrémités \(a\) et \(b\) est prolongeable en une fonction continue sur \([a,b]\), alors \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge.
Exemple résolu Nature et calcul d’une intégrale avec logarithme réservé aux comptes
Exemple résolu Nature d’une intégrale avec logarithme au dénominateur réservé aux comptes
Remarque Existence sur un segment
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\). Si \(f\) est une fonction continue sur le segment \([a,b]\), il n’y a aucun problème, l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) existe ou converge.