Terme
Égalité des accroissements finis
- Expression
- égalité des accroissements finis
- Termes plus larges
- Fonction continue sur un intervalle, Dérivabilité d’une fonction
- Condition de définition
- Fonction continue sur un intervalle, Dérivabilité d’une fonction
- Emploie
- pente-dune-droite
Définition
Théorème Existence d’une dérivée égale au taux d’accroissement
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).
On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\).
Explication Interprétation cinématique
Pour un mouvement rectiligne où l’on repère le mobile par son abscisse \(x(t)\) à l’instant \(t\), la vitesse moyenne entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) est
La vitesse instantanée à l’instant \(c\) est
Si votre vitesse moyenne est de \(140\ \mathrm{km.h}^{-1}\), alors votre vitesse instantanée a été au moins une fois égale à \(140\ \mathrm{km.h}^{-1}\).
Exemple résolu Différence de deux racines carrées consécutives réservé aux comptes
Exemple résolu Inégalité logarithmique et somme harmonique réservé aux comptes
Module : Égalité des accroissements finis
Figures
Figure Tangente parallèle à la droite sécante
Illustration graphique de l’égalité des accroissements finis.
Module : Égalité des accroissements finis
Explication Interprétation graphique
Soient \(A\), \(B\) et \(M\) les points d’abscisses \(a\), \(b\) et \(c\) de la courbe représentative de \(f\).
La relation \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) signifie que la pente de la droite \((AB)\) est égale à celle de la tangente à la courbe de \(f\) en \(M\).
Il existe au moins un point de la courbe représentative de \(f\) en lequel la tangente est parallèle à \((AB)\).
Figure Tangente parallèle à la droite sécante
Illustration graphique de l’égalité des accroissements finis.