Terme
Dimension d’un sous-espace vectoriel
- Nom
- dimension
- Expression
- dimension d’un sous-espace vectoriel
- Symbole
- \(\dim E\)
- Termes plus larges
- Sous-espace vectoriel, Base
- Termes plus spécifiques
- Rang d’une application linéaire
- Contexte
- Sous-espace vectoriel
- Condition de définition
- Base
- Condition de définition de
- Rang d’une application linéaire
Définition
Théorème Existence et définition de la dimension
Dans \(E\), un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), non réduit à \(\{0_{\mathbb{R}^n}\}\), toutes les bases de \(E\) ont le même nombre \(n\) d’éléments.
L’entier \(n\) est appelé la dimension de \(E\), notée \(\dim E\).
Par convention, si \(E\) est réduit à \(\{0_{\mathbb{R}^n}\}\), alors \(\dim E=0\).
Exemple résolu Dimension d’un sous-espace homogène de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Dimension de \(\mathbb{R}^2\)
L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\) a une base formée de deux vecteurs \(e_1=(1,0)\) et \(e_2=(0,1)\). Toute autre base de \(\mathbb{R}^2\) est constituée de deux vecteurs et on a : \(\dim\mathbb{R}^2=2\).
Remarque Dimension de \(\mathbb{R}^n\)
De même, on a : \(\dim\mathbb{R}^n=n\). Toute base de \(\mathbb{R}^n\) est formée de \(n\) vecteurs.
Dans \(\mathbb{R}^n\), toute famille de \(p\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) est liée dès que l’on a : \(p>n\).
Remarque Dimension d’une droite et d’un plan vectoriels
Une droite vectorielle est un espace vectoriel de dimension 1 et un plan vectoriel est un espace vectoriel de dimension 2.