Terme

Argument d’un complexe

Nom: argument
Symbole: \(\operatorname{arg}\)
Termes plus larges: Module d’un complexe
Termes plus spécifiques: Coordonnées polaires, Forme exponentielle d’un complexe, Forme trigonométrique d’un complexe
Emploie: Module d’un complexe
Employé par: Coordonnées polaires, Forme exponentielle d’un complexe, Forme trigonométrique d’un complexe

Définition

Définition Argument d’un nombre complexe non nul

Si \(z\) est un nombre complexe non nul, le complexe \(\frac{z}{|z|}\) est de module \(1\).

Il existe donc un réel \(\theta\) tel que \(\frac{z}{|z|}=e^{i\theta}\), ce qui donne \(z=|z|e^{i\theta}\).

\(\theta\) est appelé argument de \(z\), défini à \(2k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)).

Si \(z\) est un nombre complexe non nul, et si \(\theta\) est un argument de \(z\), on note :

\[\operatorname{arg}(z)=\theta+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\qquad \text{ou}\qquad \operatorname{arg}(z)\equiv\theta\ [2\pi]\]

Remarques Remarques

Remarque Formes exponentielle et trigonométrique

Tout nombre complexe non nul peut se mettre sous la forme exponentielle : \(z=re^{i\theta}\) avec \(|z|=r\) et \(\operatorname{arg}(z)\equiv\theta\ [2\pi]\), ou encore sous la forme trigonométrique : \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\).

Remarque Calcul du module et d’un argument

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe non nul, \(x\) et \(y\) étant deux réels.

\[|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\]

\[\cos\theta=\frac{x}{r}\qquad \sin\theta=\frac{y}{r}\]

Remarque Coordonnées polaires d’un point

Avec les notations précédentes, le point \(M\) d’affixe \(z=re^{i\theta}\) a pour coordonnées polaires \((r,\theta)\).

Figure Coordonnées polaires d’un point

Interprétation géométrique des coordonnées polaires.

Remarque Arguments de réels et d’imaginaires purs

Pour tout \(z\) de \(\mathbb C^*\), on a :

\[z\in\mathbb R_+^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=0+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv0\ [2\pi]\]

\[z\in\mathbb R_-^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=\pi+2k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv\pi\ [2\pi]\]

\[z\ \text{est un imaginaire pur}\Longleftrightarrow z\in i\mathbb R^*\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)=\frac\pi2+k\pi\ (k\in\mathbb Z)\Longleftrightarrow\operatorname{arg}(z)\equiv\frac\pi2\ [\pi]\]

Exemple résolu Coordonnées polaires d’un point réservé aux comptes

Exemple résolu Arguments et formes exponentielles réservé aux comptes

Exemple résolu Calculs de puissances de complexes réservé aux comptes

Module : Argument d’un nombre complexe non nul