Cours
Intégration sur un intervalle
- Notations
- Ensemble des réels achevés
Plan
1 Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
1.1 Intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert
1.2 Intégrale impropre sur un intervalle ouvert
1.3 Faux problème de prolongement continu
2 Intégrales de référence
3 Propriétés des intégrales convergentes
3.1 Opérations sur les intégrales convergentes
3.2 Positivité de l’intégrale convergente
3.3 Croissance et convergence absolue
4 Critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives
Cadre des critères de convergence
4.1 Critère de comparaison
4.2 Critère d’équivalence
4.3 Critère de négligeabilité
5 Intégration par partie et changement de variable
Objectifs
Intégration sur un intervalle
Objectifs préalables
Révision des objectifs antérieurs
Revoir les objectifs des parcours de calcul de primitives, de limites et continuité, de relations de comparaison locale, de développements limités et d’intégration sur un segment.
Utiliser · Calcul de primitives, Limites et continuité, Relations de comparaison locale, Développements limités, Intégration sur un segment
Intégrales impropres et propriétés
Définition d’une intégrale impropre
Connaître la définition d’une intégrale d’une fonction continue sur un intervalle.
Connaître, définir · Intégrale généralisée
Intégrale sur un segment et intégrale impropre
Savoir distinguer une « intégrale d’une fonction continue sur un segment » d’une « intégrale d’une fonction continue sur un intervalle qui n’est pas un segment ».
Reconnaître · Intégration sur un segment, Intégrales impropres sur un intervalle semi-ouvert, Intégrales impropres sur un intervalle ouvert
Propriétés d’une intégrale convergente
Connaître les propriétés d’une intégrale convergente : relation de Chasles, linéarité, positivité, croissance.
Connaître · Relation de Chasles, Linéarité des intégrales convergentes, Positivité de l’intégrale convergente, Croissance de l’intégrale convergente
Intégrales de référence
Intégrales de Riemann
Intégrales de Riemann : définitions, condition nécessaire et suffisante de convergence.
Connaître, reconnaître · Convergence des intégrales de Riemann
Intégrale logarithmique près de zéro
\[\int_0^1\ln(x)\,dx\]Connaître, reconnaître · Intégrale logarithmique près de zéro
Intégrale exponentielle sur un intervalle non borné
\[\int_0^{+\infty}e^{-x}\,dx\]Connaître, reconnaître · Intégrale exponentielle sur un intervalle non borné
Convergence absolue
Définition de la convergence absolue
Connaître la définition.
Connaître, définir · Convergence absolue d’une intégrale
Lien entre convergence et convergence absolue
Connaître le lien entre « intégrale convergente » et « intégrale absolument convergente ».
Connaître · Convergence d’une intégrale absolument convergente
Critères de convergence
Critère de comparaison
Critère de comparaison.
Appliquer, utiliser · Comparaison de deux intégrales de fonctions positives
Critère d’équivalence
Critère d’équivalence.
Appliquer, utiliser · Même nature pour deux fonctions équivalentes
Critère de négligeabilité
Critère de négligeabilité.
Appliquer, utiliser · Comparaison de deux intégrales par négligeabilité
Théorème de comparaison séries–intégrales
Théorème de comparaison séries - intégrales.
Appliquer, utiliser · Même nature d’une série et d’une intégrale impropre
Méthodes pour les intégrales impropres
Méthodes d’étude de convergence
Connaître les différentes méthodes pour étudier si une intégrale est convergente.
Connaître, étudier, utiliser · Intégration par partie et changement de variable pour les intégrales impropres
Réduction à une intégrale sur un segment
Penser à repasser par la limite de l’intégrale sur un segment pour effectuer des changements de variables et des intégrations par parties même si on a prouvé auparavant l’existence de l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle.
Utiliser · Réduction à une intégrale sur un segment