Module

Suites géométriques

Domaine: Analyse
Prérequis: Généralités sur les suites, Sommes

Suites géométriques

Définition Suite géométrique et raison

Une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est dite géométrique s’il existe un réel \(q\) tel que :

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad u_{n+1}=qu_n\]

\(q\) est appelée la raison de la suite \((u_n)\).

Exemple résolu Vérification d’une suite puissance réservé aux comptes

Exemple résolu Vérification d’une suite factorielle réservé aux comptes

Exemple résolu Suite transformée par une expression rationnelle réservé aux comptes

Propriété Termes et somme d’une suite géométrique

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite géométrique de raison \(q\).

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n=u_0q^n\]

\[\forall(n,p)\in\mathbb{N}^2,\qquad u_n=u_pq^{n-p}\]

\[\forall(n,n_0)\in\mathbb{N}^2,\qquad S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\]

\[q=1\quad\Longrightarrow\quad S_n=(n-n_0+1)u_{n_0}\]

\[q\ne 1\quad\Longrightarrow\quad S_n=u_{n_0}\frac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}\]

Remarques Remarques

Remarque Somme selon le nombre de termes

\[\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\begin{cases}\text{premier terme de la somme}\,\dfrac{1-q^{\text{nombre de termes de la somme}}}{1-q}&\text{si }q\ne 1\\\text{premier terme de la somme}\,(\text{nombre de termes de la somme})&\text{si }q=1\end{cases}\]

Remarque Somme des puissances consécutives de \(q\)

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=q^n\). \((u_n)\) est la suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(1\), et on a :

\[\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\sum_{k=n_0}^{n}q^k=\begin{cases}q^{n_0}\dfrac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}&\text{si }q\ne 1\\n-n_0+1&\text{si }q=1\end{cases}\]

Exemple résolu Calcul d’une somme de termes géométriques réservé aux comptes