Module
Raisonnement par récurrence
- Domaine
- Logique
- Prérequis
- Assertions, Ensembles usuels de nombres
Principe et application
Définition Principe du raisonnement par récurrence
Soit \(n_0\), un entier naturel.
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\) de \(\left[n_0,+\infty\right[\).
Méthode Étapes d’une démonstration par récurrence
La démonstration par récurrence comporte trois étapes.
Méthode Initialisation
On vérifie que la propriété \(P(n_0)\) est vraie.
Méthode Hérédité
Soit \(n\) un entier de \(\left[n_0,+\infty\right[\). Supposons que la propriété \(P(n)\) est vraie.
Cette hypothèse est appelée « hypothèse de récurrence » et on peut la noter « HR » quand on y fait référence.
On démontre alors que la propriété \(P(n+1)\) est vraie.
On dit alors que la propriété est héréditaire à partir du rang \(n_0\).
Méthode Conclusion de la récurrence
On conclut que la propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n\) de \(\left[n_0,+\infty\right[\).
Application Inégalité de Bernoulli réservé aux comptes