Module
Loi de Bernoulli
- Domaine
- Probabilités
Épreuve et loi de Bernoulli
Définition Épreuve de Bernoulli
On réalise une expérience aléatoire qui a exactement deux issues possibles : un événement \(A\) de probabilité \(p\) et son contraire \(\overline{A}\).
Définition Variable associée à une épreuve de Bernoulli
Soit \(X\) la variable aléatoire définie par :
\[X=\begin{cases}1 & \text{si } A \text{ est réalisé},\\0 & \text{si } A \text{ n’est pas réalisé}.\end{cases}\]
On dit que \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p(A)\).
Définition Loi de Bernoulli de paramètre \(p\)
Soit \(p\in[0,1]\).
Une variable aléatoire réelle \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) lorsque :
\[X(\Omega)=\{0,1\}\]
\[p(X=1)=p\quad\text{et}\quad p(X=0)=1-p\]
\[X\hookrightarrow\mathcal{B}(p)\]
Exemple résolu Tirage d’une boule blanche ou noire réservé aux comptes
Théorème Espérance et variance d’une loi de Bernoulli
Si \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), alors :
\[E(X)=p\]
\[V(X)=p(1-p)\]
Méthode Simulation d’une loi de Bernoulli en Python
def Bernoulli(p):
if random() < p:
return 1
else:
return 0
Remarque Calcul de l’espérance par \(p(X=1)\)
Pour déterminer l’espérance d’une variable \(X\) qui suit une loi de Bernoulli, il suffit de connaître \(p(X=1)\).