Module
Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants
- Domaine
- Analyse
- Notations
- Intervalle de définition
Généralités sur les équations du second ordre
Définition Équation différentielle linéaire du second ordre
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants toute équation de la forme
où \(a,b,c\) sont trois réels, \(a\) non nul et \(d\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Résoudre \((E)\), c’est déterminer toutes les fonctions \(x\mapsto y(x)\) deux fois dérivables sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que l’on ait \(\forall x\in I,\ ay''(x)+by'(x)+cy(x)=d(x)\).
On appelle équation homogène associée à \((E)\) l’équation \((H)\)
Exercice Résolution d’une équation du second ordre à second membre cosinus réservé aux comptes
Théorème Décomposition des solutions
Avec les notations de l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, la solution générale de \((E)\) est la somme d’une solution particulière de \((E)\) et de la solution générale de \((H)\).
Exercice Détermination d’une solution générale à partir d’une solution connue réservé aux comptes
Exercice Recherche d’une solution particulière résonante réservé aux comptes
Résolution de l’équation homogène associée
Théorème Équation caractéristique
Pour \(r\in\mathbb{C}\), la fonction \(x\mapsto e^{rx}\) est solution de \((H)\) si, et seulement si, \(ar^2+br+c=0\).
L’équation d’inconnue \(r\), \(ar^2+br+c=0\), est appelée équation caractéristique de \((H)\).
Théorème Solutions selon les racines caractéristiques
Soit \((H)\) : \(ay''(x)+by'(x)+cy(x)=0\), \(a\in\mathbb{R}^*\), \((b,c)\in\mathbb{R}^2\).
Si l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) deux racines réelles distinctes \(r_1,r_2\) (\(\Delta=b^2-4ac>0\)), alors la solution générale de \((H)\) est
Si l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) une racine double \(r\) (\(\Delta=b^2-4ac=0\)), alors la solution générale de \((H)\) est
Si l’équation caractéristique \(ar^2+br+c=0\) admet deux racines conjuguées non réelles \(\alpha+i\beta,\alpha-i\beta\) (\(\Delta=b^2-4ac<0\)), alors la solution générale de \((H)\) est
Exercice Résolution dans deux cas de racines caractéristiques réservé aux comptes
Résolution avec second membre
Théorème Principe de superposition des solutions
Soit \((E)\) : \(ay''(x)+by'(x)+cy(x)=d_1(x)+d_2(x)\) avec \(a,b,c\) trois réels, \(a\) non nul, \(d_1,d_2\) des fonctions continues sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On suppose que \(y_1\) est une solution de l’équation \((E_1)\) \(ay_1''(x)+by_1'(x)+cy_1(x)=d_1(x)\) et que \(y_2\) est une solution de l’équation \((E_2)\) \(ay_2''(x)+by_2'(x)+cy_2(x)=d_2(x)\).
Ainsi, \(y_1+y_2\) est une solution de \((E)\).
Exercice Résolution par superposition réservé aux comptes
Résolution avec conditions initiales
Définition Problème de Cauchy associé
Soient \(a\in\mathbb{R}^*\), \((b,c)\in\mathbb{R}^2\) et \(d\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Soient \((x_0,y_0,y'_0)\in I\times\mathbb{R}^2\).
On appelle problème de Cauchy associé à l’équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants \(ay''(x)+by'(x)+cy(x)=d(x)\) le système
Théorème Unicité de la solution d’un problème de Cauchy
Soient \(a\in\mathbb{R}^*\), \((b,c)\in\mathbb{R}^2\) et \(d\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Soient \((x_0,y_0,y'_0)\in I\times\mathbb{R}^2\).
Le problème de Cauchy
Exercice Résolution d’un problème de Cauchy du second ordre réservé aux comptes