Module

Dérivée d’une fonction composée

Domaine: Analyse
Prérequis: Dérivée d’une fonction
Notations: Intervalle de définition des fonctions

Dérivée d’une fonction composée

Définition Fonction composée

Soient \(u\) une fonction dérivable sur \(I\) et \(f\) une fonction dérivable sur \(J\) telles que \(\forall x\in I,\ u(x)\in J\).

On transforme \(x\) par deux fonctions successives, on obtient une fonction composée.

\[z=f(y)\quad\text{et}\quad y=u(x),\qquad z=f(u(x))\]

Avec la notation de Leibniz, on cherche à dériver \(z\), considéré comme fonction de \(x\), on cherche donc \(\frac{dz}{dx}\).

\[\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}\]

Figure Schéma de composition de fonctions

Schéma de deux transformations successives.

Propriété Dérivée d’une composition

Soient \(u\) une fonction dérivable sur \(I\) et \(f\) une fonction dérivable sur \(J\) telles que, pour tout \(x\) appartenant à \(I\), \(u(x)\) appartient à \(J\).

\(f\circ u\) est dérivable sur \(I\) et on a :

\[(f\circ u)'=(f'\circ u)\times u'\]

Autrement dit, on a :

\[\forall x\in I,\ [f(u(x))]'=f'(u(x))\times u'(x)\]

Remarques Remarques

Remarque Distinction entre deux notations

Ne pas confondre \([f(u(x))]'\) et \(f'(u(x))\).

Exemple résolu Dérivée d’une tangente composée réservé aux comptes

Conséquences de la dérivée composée

Corollaire Dérivées de compositions usuelles

Soit \(u\) une fonction dérivable sur \(I\).

Pour \(n\in\mathbb{N}^*\), \(u^n\) est dérivable sur \(I\).

Si \(u(x)\ne0\) sur \(I\), \(\ln|u|\) est dérivable sur \(I\). Si \(u(x)>0\) sur \(I\), \(\sqrt{u}\) est dérivable sur \(I\).

\[(e^u)'=u'e^u,\quad (\ln|u|)'=\frac{u'}{u},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\]

\[(u^n)'=nu^{n-1}u',\quad (u^a)'=au^{a-1}u'\]

Pour \(a\in\mathbb{Z}_{-}^{*}\), on suppose \(u(x)\ne0\) sur \(I\). Pour la tangente, on suppose \(u(x)\ne\frac{\pi}{2}\ [\pi]\) sur \(I\).

\[(\cos u)'=-u'\sin u,\quad (\sin u)'=u'\cos u,\quad (\tan u)'=\frac{u'}{\cos^2u}=u'(1+\tan^2u)\]