Module

Vecteurs du plan

Domaine: Géométrie du plan

Généralités sur les vecteurs

Définition Colinéarité

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) du plan sont colinéaires s’il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\vec u=\alpha\vec v\) ou un réel \(\beta\) tel que \(\vec v=\beta\vec u\).

Remarques Remarques

Remarque Cas des vecteurs non nuls

Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non nuls, il est équivalent de dire \(\vec u=\alpha\vec v\) ou \(\vec v=\frac{1}{\alpha}\vec u\).

Remarque Cas du vecteur nul

Si \(\vec u=\vec0\), et \(\vec v\ne\vec0\), on peut écrire \(\vec u=0\vec v\) mais il n’existe pas de réel \(\alpha\) tel que l’on ait \(\vec v=\alpha\vec u\).

Remarque Vecteur nul

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

Définition Famille libre

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) non colinéaires forment une famille libre, c’est-à-dire :

\[\forall(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathbb{R}^2,\quad\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v=\vec0\Longrightarrow\lambda_1=\lambda_2=0\]

Définition Base du plan

Deux vecteurs non colinéaires du plan forment une base.

Propriété Coordonnées dans une base

Soit \(\left(\vec u,\vec v\right)\) une base du plan. Tout vecteur \(\vec w\) du plan s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\), c’est-à-dire :

\[\exists!(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad\vec w=a\vec u+b\vec v\]

Les réels \(a\) et \(b\) sont les coordonnées de \(\vec w\) dans la base \(\left(\vec u,\vec v\right)\). On note également \(\vec w\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\).

Figure Décomposition d’une combinaison linéaire

Figure associée à l’écriture d’un vecteur comme combinaison linéaire.

Exercice Combinaisons linéaires de vecteurs réservé aux comptes

Définition Base orthonormale

On dit qu’une base \(\left(\vec u,\vec v\right)\) est orthonormale si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux et s’ils sont normés (ou unitaires), c’est-à-dire \(\lVert\vec u\rVert=\lVert\vec v\rVert=1\).

Définition Base orthonormale directe

On dit qu’une base orthonormale \(\left(\vec u,\vec v\right)\) est directe si \(\left(\vec u,\vec v\right)=+\frac{\pi}{2}\ [2\pi]\).

Repère cartésien et calculs

Définition Repère cartésien

Un repère cartésien du plan est un triplet \(\left(\Omega,\vec u,\vec v\right)\) où \(\Omega\) est un point du plan, et \(\left(\vec u,\vec v\right)\) est une base.

Définition Coordonnées cartésiennes

Soit \(\left(\Omega,\vec u,\vec v\right)\) un repère cartésien. Pour tout \(M\) du plan, il existe un unique couple \(\left(x,y\right)\) de réels tels que \(\overrightarrow{\Omega M}=x\vec u+y\vec v\). Les réels \(x\) et \(y\) s’appellent coordonnées cartésiennes du point \(M\) dans le repère \(\left(\Omega,\vec u,\vec v\right)\). On note \(M(x,y)\).

Exercice Coordonnées du point \(P\) dans deux repères réservé aux comptes

Propriété Calculs de coordonnées

Soit \(R\) un repère cartésien du plan associé à une base \(B\). Soient les points \(A(x_A,y_A)\), \(B(x_B,y_B)\) et \(I\) le milieu de \([AB]\) dans \(R\), les vecteurs \(\vec u\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\) dans \(B\), et le réel \(a\). On a :

\[\vec u+\vec v=\begin{pmatrix}x+x'\\y+y'\end{pmatrix},\quad a\vec u=\begin{pmatrix}ax\\ay\end{pmatrix},\quad\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix},\quad I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\]