Module
Univers et événements
- Domaine
- Probabilités
Notions fondamentales
Définition Expérience aléatoire
On appelle expérience aléatoire, toute expérience dont le résultat dépend du hasard.
Définition Issue d’une expérience aléatoire
On appelle issue ou réalisation d’une expérience aléatoire, tout résultat possible de cette expérience.
Définition Univers d’une expérience aléatoire
L’ensemble des issues d’une expérience aléatoire est appelé univers de cette expérience.
On le note généralement \(\Omega\).
Définition Événement
Lorsqu’on effectue une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience peuvent se produire ou non. On les appelle événements.
Mathématiquement, on identifie un événement à la partie de l’univers pour laquelle cet événement est réalisé.
Un événement est donc une partie de l’univers.
Exemple résolu Expériences aléatoires avec un dé réservé aux comptes
Définition Événement élémentaire
On appelle événement élémentaire, une partie de l’univers réduite à un seul élément.
Définition Événement impossible
Un événement qui n’est jamais réalisé est dit événement impossible.
Définition Événement certain
Un événement qui est toujours réalisé est dit événement certain.
Opérations sur les événements
Tableau Correspondances entre terminologies probabiliste et ensembliste
Opérations sur les événements.
| Terminologie probabiliste | Terminologie ensembliste |
|---|---|
| Issue \(\omega\) | \(\omega \in \Omega\) |
| Événement \(A\) | \(A \subset \Omega\) |
| \(A\) ou \(B\) | \(A \cup B\) |
| \(A\) et \(B\) | \(A \cap B\) |
| Contraire de \(A\) | \(\overline{A}\) |
| Événement impossible | \(\varnothing\) |
| Événement certain | \(\Omega\) |
| \(A\) et \(B\) incompatibles (ou disjoints) | \(A \cap B = \varnothing\) |
Exemple résolu Opérations sur les événements d’un dé réservé aux comptes
Propriété Lois de De Morgan pour les événements
(admise)
Soient \(A\) et \(B\) deux événements d’un univers \(\Omega\).
Systèmes complets d’événements
Définition Système complet d’événements
Un système complet d’événements d’un univers \(\Omega\) est une famille formée d’événements non vides, incompatibles deux à deux dont la réunion est égale à \(\Omega\).
Remarque Système complet formé par un événement et son contraire
Soit \(A\) un événement non vide d’un univers \(\Omega\).
Par exemple, \(\{A,\overline{A}\}\) est un système complet d’événements de \(\Omega\).
Exemple résolu Système complet d’événements d’un dé réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Relations entre un événement et son contraire
Remarque Ensemble des événements d’un univers fini
Si l’univers \(\Omega\) est fini, l’ensemble des événements associés à l’expérience aléatoire représentée par \(\Omega\) est noté \(\mathcal{P}(\Omega)\).
Ainsi, si \(A\) est un événement, on a : \(A \subset \Omega \Leftrightarrow A \in \mathcal{P}(\Omega)\).
Remarque Représentation des événements par un diagramme de Venn
Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements.
Figure Diagramme de Venn pour deux événements
Diagramme de Venn.
Remarque Tableau à double entrée pour deux événements
Pour étudier l’intersection ou la réunion de deux événements \(A\) et \(B\), on peut aussi utiliser un tableau à double entrée.
Tableau Grille à double entrée des événements complémentaires
Tableau à double entrée.