Module

Propriétés des intégrales convergentes

Domaine: Analyse
Prérequis: Intégrales de référence
Notations: Ensemble des réels achevés

Opérations sur les intégrales convergentes

Mise en garde Séparation d’une intégrale en intégrales divergentes

Que pensez-vous de l’écriture :

\[\int_2^{+\infty}\frac{2\,dt}{t^2-1}=\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t-1}-\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t+1}\]

Propriété Linéarité des intégrales convergentes

Soit \(\lambda\in\mathbb{R}\). Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\). Soit \(I\) un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\).

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\).

Si les intégrales \(\int_a^b g(t)\,dt\) et \(\int_a^b f(t)\,dt\) convergent, alors les intégrales \(\int_a^b(g(t)+f(t))\,dt\) et \(\int_a^b\lambda f(t)\,dt\) convergent et on a :

\[\int_a^b(g(t)+f(t))\,dt=\int_a^b g(t)\,dt+\int_a^b f(t)\,dt\quad\text{et}\quad\int_a^b\lambda f(t)\,dt=\lambda\int_a^b f(t)\,dt\]

Remarques Remarques

Remarque Invariance de la nature par multiplication scalaire non nulle

Soit \(\lambda\in\mathbb{R}^*\). \(\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\int_a^b\lambda f(t)\,dt\) sont de même nature.

Remarque Somme d’une intégrale convergente et d’une intégrale divergente

Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) converge et si \(\int_a^b f(t)\,dt\) diverge, alors \(\int_a^b(g(t)+f(t))\,dt\) diverge.

Remarque Somme de deux intégrales divergentes

Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) et \(\int_a^b f(t)\,dt\) divergent, on ne peut pas prévoir la nature de \(\int_a^b(g(t)+f(t))\,dt\).

En effet, \(\int_0^{+\infty}t\,dt\) et \(\int_0^{+\infty}-t\,dt\) divergent, \(\int_0^{+\infty}(t-t)\,dt\) converge alors que \(\int_0^{+\infty}(t+t)\,dt\) diverge.

Il est faux d’écrire \(\int_2^{+\infty}\frac{2\,dt}{t^2-1}=\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t-1}-\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t+1}\).

\(\int_2^{+\infty}\frac{2\,dt}{t^2-1}=\ln 3\).

\(\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t-1}\) et \(\int_2^{+\infty}\frac{dt}{t+1}\) divergent.

Positivité de l’intégrale convergente

Théorème Positivité de l’intégrale convergente

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\). Soit \(I\) un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\).

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \(I\).

Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge alors \(\int_a^b f(t)\,dt\geq 0\).

Remarque Nullité de l’intégrale d’une fonction positive

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\). Soit \(I\) un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\).

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \(I\).

Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge et si \(\int_a^b f(t)\,dt=0\), alors \(\forall t\in I,\ f(t)=0\).

Croissance et convergence absolue

Corollaire Croissance de l’intégrale convergente

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\). Soit \(I\) un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\).

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\) vérifiant : \(\forall x\in I,\ f(x)\leq g(x)\).

Si les intégrales \(\int_a^b g(t)\,dt\) et \(\int_a^b f(t)\,dt\) convergent, alors \(\int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt\).

Définition Convergence absolue d’une intégrale

Soient \(a\) et \(b\) deux réels de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\). Soit \(I\) un intervalle d’extrémités \(a\) et \(b\).

Soit \(f\) une fonction continue sur \(I\).

On dit que l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est absolument convergente si l’intégrale \(\int_a^b |f(t)|\,dt\) est convergente.

Propriété Convergence d’une intégrale absolument convergente

Si l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est absolument convergente avec \(a<b\), alors l’intégrale \(\int_a^b f(t)\,dt\) est convergente et on a \(\left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\leq\int_a^b |f(t)|\,dt\).

Remarques Remarques

Remarque Convergence sans convergence absolue

Comme pour les séries, une intégrale peut être convergente et non absolument convergente.

On montrera, dans l’exemple suivant, que l’intégrale \(\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt\) converge mais ne converge pas absolument.