Module
Primitives et intégrales
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Dérivée d’une fonction
Primitives d’une fonction
Définition Primitive d’une fonction
On considère des fonctions définies sur un intervalle \(I\) dans \(\mathbb{R}\) et à valeurs réelles.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
On dit que la fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est définie et dérivable sur \(I\), et si pour tout \(x\) de \(I\) :
Théorème Existence et forme des primitives
Soit \(f\) une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\).
(admis)
Alors \(f\) admet des primitives sur \(I\).
De plus, si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors les primitives de \(f\) sur \(I\) sont les fonctions \(F+\lambda\) avec \(\lambda\in\mathbb{R}\).
On dit que deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante.
Intégrale d’une fonction continue
Définition Intégrale entre deux bornes
Soient \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \([a,b]\).
On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de la fonction \(f\) le réel \(F(b)-F(a)\).
Remarques Remarques
Remarque Lecture de l’intégrale
\(\int_a^b f(t)\,dt\) se dit « somme de \(a\) à \(b\) de \(f(t)\,dt\) ».
Remarque Indépendance de la primitive choisie
Le résultat ne dépend pas de la primitive \(F\) choisie.
Remarque Variable muette d’intégration
La lettre \(t\) n’intervient pas explicitement dans le calcul final \(F(b)-F(a)\). On dit que c’est une variable muette.