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Compte

Module

Opérations sur les limites

Domaine
Analyse
Prérequis
Limites de fonctions
Notations
Ensemble des réels achevés, Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Somme de limites

Tableau Somme de limites

Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage de \(a\), admettant des limites en \(a\).

\(\lim_{a}g\) / \(\lim_{a}f\)\(l\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(l'\)\(l+l'\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(+\infty\)\(+\infty\)\(+\infty\)Forme indéterminée
\(-\infty\)\(-\infty\)Forme indéterminée\(-\infty\)

Exemple résolu Calculs de limites de sommes réservé aux comptes

Produit, inverse et quotient

Tableau Produit de limites

\(\lim_{a}g\) / \(\lim_{a}f\)\(l>0\)\(l<0\)\(l=0\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(l'>0\)\(ll'\)\(ll'\)\(0\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(l'<0\)\(ll'\)\(ll'\)\(0\)\(-\infty\)\(+\infty\)
\(l'=0\)\(0\)\(0\)\(0\)Forme indéterminéeForme indéterminée
\(+\infty\)\(+\infty\)\(-\infty\)Forme indéterminée\(+\infty\)\(-\infty\)
\(-\infty\)\(-\infty\)\(+\infty\)Forme indéterminée\(-\infty\)\(+\infty\)

Exemple résolu Calculs de limites de produits réservé aux comptes

Tableau Limite de l’inverse

Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), admettant une limite en \(a\) telle que \(\forall x\in I,\ f(x)\ne0\).

\(\lim_{a}f\)\(l\ne0\)\(l=0\)\(+\infty\)\(-\infty\)
\(\lim_{a}\frac{1}{f}\)\(\frac{1}{l}\)Si \(\forall x\in I,\ f(x)>0\), alors \(\lim_{a}\frac{1}{f}=+\infty\). Si \(\forall x\in I,\ f(x)<0\), alors \(\lim_{a}\frac{1}{f}=-\infty\).\(0\)\(0\)

Méthode Étude de la limite d’un quotient

La limite du quotient \(\frac{f}{g}\) s’étudie comme la limite du produit de \(f\) par l’inverse de \(g\).

Pour les quotients, il y a deux types de formes indéterminées : \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).

Exemple résolu Calculs de limites de quotients réservé aux comptes

Exemple résolu Autres calculs de limites de quotients réservé aux comptes

Méthode Lever une forme indéterminée

Quatre formes sont indéterminées : \(\infty-\infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\) et \(\frac{0}{0}\). On transforme alors l’expression avant de passer à la limite :

  • pour un polynôme ou une fraction rationnelle en \(\pm\infty\), on factorise par le terme de plus haut degré : un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré, une fraction rationnelle celle du quotient des termes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur ;

  • pour une expression avec des radicaux, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée, comme dans \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\) ;

  • pour un quotient \(\frac{0}{0}\) en un réel \(a\), on factorise le numérateur et le dénominateur par \(x-a\), ou l’on reconnaît un taux d’accroissement ;

  • pour des logarithmes, des puissances et des exponentielles, on utilise les croissances comparées.

Exemple résolu Levée de trois formes indéterminées réservé aux comptes

Composition de limites

Propriété Composition de limites

Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(g\in\mathcal{F}(J,\mathbb{R})\). Soient \(a\in \overline{\mathbb{R}}\) et \(b\in \overline{\mathbb{R}}\). On suppose que \(f\) est définie au voisinage de \(a\), que \(g\) est définie au voisinage de \(b\), et que \(f(I)\subset J\).

\[\lim_{a}f=b\qquad\text{et}\qquad\lim_{b}g=l\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{a}(g\circ f)=l\]
\[\left.\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)&=b\\\lim_{u\to b}g(u)&=l\end{aligned}\right\}\Longrightarrow\lim_{x\to a}g(f(x))=l\]

Exemple résolu Composition de limites logarithmiques réservé aux comptes

Exemple résolu Composition de limites au voisinage de zéro réservé aux comptes