Module
Intégrales de référence
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Intégrales impropres
Intégrales exponentielle et logarithmique
Théorème Intégrale exponentielle sur un intervalle non borné
L’intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-at}\,dt\) converge si et seulement si \(a>0\).
Si \(a>0\), alors \(\int_0^{+\infty} e^{-at}\,dt=\frac{1}{a}\).
Théorème Intégrale logarithmique près de zéro
L’intégrale \(\int_0^1 \ln t\,dt\) converge et \(\int_0^1 \ln t\,dt=-1\).
Remarque Indépendance de la borne supérieure
D’après la relation de Chasles, pour tout réel \(c\) strictement positif, \(\int_0^c \ln t\,dt\) converge.
Intégrales de Riemann
Théorème Convergence des intégrales de Riemann
Soit \(a\) un réel.
L’intégrale \(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^a}\) converge si et seulement si \(a>1\). Si \(a>1\), alors \(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^a}=\frac{1}{a-1}\).
L’intégrale \(\int_0^1\frac{dt}{t^a}\) converge si et seulement si \(a<1\). Si \(a<1\), alors \(\int_0^1\frac{dt}{t^a}=\frac{1}{1-a}\).
Exemple résolu Nature de cinq intégrales de Riemann réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Cas de divergence
\(\int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^a}\) diverge si et seulement si \(a\leq 1\).
\(\int_0^1\frac{dt}{t^a}\) diverge si et seulement si \(a\geq 1\).
Remarque Changement de borne régulière
D’après la relation de Chasles, pour tout réel \(c\) strictement positif, \(\int_c^{+\infty}\frac{dt}{t^a}\) converge si et seulement si \(a>1\).
D’après la relation de Chasles, pour tout réel \(c\) strictement positif, \(\int_0^c\frac{dt}{t^a}\) converge si et seulement si \(a<1\).
Remarques Remarques
Remarque Divergence pour \(a\leq 0\)
L’intégrale \(\int_0^{+\infty} e^{-at}\,dt\) diverge si et seulement si \(a\leq 0\).
Remarque Indépendance de la borne inférieure
D’après la relation de Chasles, pour tout réel \(c\), \(\int_c^{+\infty} e^{-at}\,dt\) converge si et seulement si \(a>0\).