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Formules de trigonométrie

Domaine: Trigonométrie
Prérequis: Cercle trigonométrique

Formules de trigonométrie

Propriété Formules d’addition et de duplication

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(x\), on a :

\[\begin{aligned}\cos(a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\\cos(a-b)&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\\sin(a+b)&=\sin a\cos b+\sin b\cos a\\\sin(a-b)&=\sin a\cos b-\sin b\cos a\end{aligned}\]

\[\begin{aligned}\cos(2x)&=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x\\\sin(2x)&=2\sin x\cos x\end{aligned}\]

\[\cos^2x=\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\qquad\sin^2x=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))\]

Corollaire Transformation d’une combinaison de cosinus et sinus

Pour tout couple de réels \((a,b)\neq(0,0)\), il existe un réel \(\varphi\) tel que :

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)\]

Démonstration Transformation sous forme cosinus

\[f(x)=a\cos x+b\sin x\]

On met en facteur \(\sqrt{a^2+b^2}\) :

\[f(x)=a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x\right)\]

\[A=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad B=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Il est clair que \(A^2+B^2=1\), donc il existe un réel \(\varphi\) (déterminé à \(2\pi\) près) tel que \(A=\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) et \(B=\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

\[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi\cos x+\sin\varphi\sin x)\]

\[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)\]

\[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\varphi-x)\]

Remarque Transformation sous forme sinus

Pour tout couple de réels \((a,b)\neq(0,0)\), il existe un réel \(\theta\) tel que :

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\theta)\]

Démonstration Démonstration de la forme sinus

\[f(x)=a\cos x+b\sin x\]

On met en facteur \(\sqrt{a^2+b^2}\) :

\[f(x)=a\cos x+b\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x\right)\]

\[\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\beta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Il est clair que \(\alpha^2+\beta^2=1\), il existe un réel \(\theta\) tel que \(\beta=\sin\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\) et \(\alpha=\cos\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

\[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\theta\cos x+\cos\theta\sin x)\]

\[f(x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\theta)\]

Exemple résolu Résolution d’une équation trigonométrique réservé aux comptes

Méthode Équations et inéquations en \(a\cos x+b\sin x\)

Pour résoudre \(a\cos x+b\sin x=r\) ou \(a\cos x+b\sin x\geq r\), avec \((a,b)\neq(0,0)\), on écrit le membre de gauche sous la forme \(\sqrt{a^2+b^2}\cos(x-\varphi)\) : on est ramené à \(\cos(x-\varphi)=\frac{r}{\sqrt{a^2+b^2}}\), ou à l’inégalité correspondante, d’inconnue \(x-\varphi\).

Si \(|r|>\sqrt{a^2+b^2}\), l’équation n’a pas de solution.

Exemple résolu Équation et inéquation en \(\cos x+\sqrt{3}\sin x\) réservé aux comptes