Module

Extrema d’une fonction

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions réelles d’une variable réelle
Notations: Ensemble de définition d’une fonction réelle, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Extrema

Définition Maximum, minimum et extremum

Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(a\in I\).

On dit que \(f\) a un maximum en \(a\) si \(\forall x\in I,\ f(x)\leq f(a)\).

On dit que \(f\) a un minimum en \(a\) si \(\forall x\in I,\ f(x)\geq f(a)\).

Dans l’un ou l’autre cas, on dit que \(f\) présente un extremum en \(a\).

Remarques Remarques

Remarque Extremum local

Si l’une des deux définitions, non réalisée sur \(I\), l’est sur un intervalle ouvert \(J\) contenant \(a\), on dit que \(f\) admet un extremum local en \(a\).

Remarque Existence d’un extremum

Il existe des fonctions sans extremum.

Exemple résolu Extremum d’une fonction rationnelle réservé aux comptes

Notation Notation des extrema

Si \(f\) présente un maximum en \(a\), celui-ci se note :

\[\max_I f\quad\text{ou}\quad\max_{x\in I}f(x)\]

Si \(f\) présente un minimum en \(a\), celui-ci se note :

\[\min_I f\quad\text{ou}\quad\min_{x\in I}f(x)\]