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Résolution d’équations trigonométriques

Domaine: Trigonométrie
Prérequis: Cercle trigonométrique

Résolution d’équations trigonométriques

Propriété Solutions des équations trigonométriques de référence

Soit \(a\) un réel donné.

On cherche à résoudre les équations d’inconnue \(x\) : \(\cos x=\cos a\), \(\sin x=\sin a\) et \(\tan x=\tan a\).

\[\cos x=\cos a\Longleftrightarrow\left(x=a+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right)\]

\[\cos x=\cos a\Longleftrightarrow\left(x\equiv a\ [2\pi]\quad\text{ou}\quad x\equiv-a\ [2\pi]\right)\]

\[\sin x=\sin a\Longleftrightarrow\left(x=a+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-a+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right)\]

\[\sin x=\sin a\Longleftrightarrow\left(x\equiv a\ [2\pi]\quad\text{ou}\quad x\equiv\pi-a\ [2\pi]\right)\]

\[\forall a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},\quad \tan x=\tan a\Longleftrightarrow x=a+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\]

\[\forall a\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},\quad \tan x=\tan a\Longleftrightarrow x\equiv a\ [\pi]\]

Figure Solutions de l’équation cosinus

Positions de même abscisse sur le cercle trigonométrique.

Figure Solutions de l’équation sinus

Positions de même ordonnée sur le cercle trigonométrique.

Figure Solutions de l’équation tangente

Construction de la tangente \(\tan a\) sur le cercle trigonométrique.

Exemple résolu Résolution de trois équations trigonométriques réservé aux comptes

Méthode Résolution d’inéquations trigonométriques

Pour résoudre une inéquation de la forme \(\cos x\geq c\), \(\sin x<c\) ou \(\tan x\leq c\), on résout d’abord l’équation associée, puis on lit sur le cercle trigonométrique les arcs où l’inégalité est vérifiée : à l’abscisse pour le cosinus, à l’ordonnée pour le sinus.

On écrit les solutions sur un intervalle de longueur \(2\pi\), ou \(\pi\) pour la tangente, puis on ajoute, s’il le faut, les multiples de la période.

Exemple résolu Résolution de deux inéquations trigonométriques réservé aux comptes