Module

Équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants

Domaine: Analyse
Prérequis: Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Notations: Intervalle de définition

Généralités sur les équations du premier ordre

Définition Équation différentielle linéaire du premier ordre

On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants toute équation de la forme

\[(E)\qquad ay'(x)+by(x)=c(x)\]

avec \(a\in\mathbb{R}^*\), \(b\in\mathbb{R}\) et \(c\) est une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Résoudre \((E)\), c’est déterminer toutes les fonctions \(x\mapsto y(x)\) dérivables sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que l’on ait \(\forall x\in I,\ ay'(x)+by(x)=c(x)\).

On appelle équation homogène associée à \((E)\) l’équation \((H)\)

\[ay'(x)+by(x)=0\]

Exercice Résolution d’une équation dont la dérivée est un cosinus réservé aux comptes

Théorème Décomposition des solutions

Avec les notations de l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, la solution générale de \((E)\) est la somme d’une solution particulière de \((E)\) et de la solution générale de \((H)\).

Résolution de l’équation homogène associée

Théorème Équation caractéristique et solution générale

Soit \((H)\) : \(ay'(x)+by(x)=0\) avec \(a\in\mathbb{R}^*\), \(b\in\mathbb{R}\).

L’équation d’inconnue \(r\), \(ar+b=0\), est appelée équation caractéristique de \((H)\).

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad h_g(x)=\lambda e^{-\frac{bx}{a}},\quad \lambda\in\mathbb{R}\]

Remarques Remarques

Remarque Écriture avec une racine de l’équation caractéristique

Si \(m\) est la solution de l’équation caractéristique de \((H)\), alors la solution générale de \((H)\) est donnée par

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad h_g(x)=\lambda e^{mx},\quad \lambda\in\mathbb{R}\]

Exercice Résolution d’une équation dont la dérivée égale la fonction réservé aux comptes

Résolution avec second membre

Méthode Recherche d’une solution particulière

On résout d’abord \((H)\). On détermine ensuite une solution particulière de \((E)\).

Méthode Second membre constant

Cas où \(c\) est une constante : \((E)\) a pour solution particulière une fonction \(y_p\) constante.

Exercice Résolution avec second membre constant réservé aux comptes

Méthode Second membre trigonométrique

Cas où le second membre est de la forme \(c(x)=A\sin(wx)\) ou \(c(x)=A\cos(wx)\), avec \(A\in\mathbb{R}^*\), \(w\in\mathbb{R}\).

On peut trouver une solution particulière \(y_p\) de cette équation \((E)\) de la forme

\[y_p(x)=\lambda_1\cos(wx)+\lambda_2\sin(wx),\quad \lambda_1\text{ et }\lambda_2\text{ deux réels à déterminer.}\]

Exercice Résolution avec second membre sinusoïdal réservé aux comptes

Théorème Principe de superposition des solutions

Soit \((E)\) : \(ay'(x)+by(x)=c_1(x)+c_2(x)\) avec \(a\in\mathbb{R}^*\), \(b\in\mathbb{R}\), \(c_1\) et \(c_2\) deux fonctions continues sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

On suppose que \(y_1\) est une solution de l’équation \((E_1)\) \(ay_1'(x)+by_1(x)=c_1(x)\), et que \(y_2\) est une solution de l’équation \((E_2)\) \(ay_2'(x)+by_2(x)=c_2(x)\).

Ainsi, \(y_1+y_2\) est une solution de \((E)\).

Exercice Résolution par superposition réservé aux comptes

Exercice Décomposition d’un second membre réservé aux comptes

Méthode Variation de la constante

On pose \(h\) une solution non nulle de l’équation homogène associée :

\[\forall x\in I,\quad h(x)=e^{-\frac{bx}{a}}\]

On cherche une solution particulière de \((E)\) sous la forme \(p(x)=\lambda(x)h(x)\), \(\lambda\) étant une fonction dérivable sur \(I\) à déterminer.

Soit \(\lambda\) une fonction dérivable sur \(I\) et \(p\) la fonction définie par \(p=\lambda h\).

\[p'=(\lambda h)'=\lambda'h+\lambda h'\]

\[p\text{ est une solution de }(E)\Longleftrightarrow ap'+bp=c\Longleftrightarrow a(\lambda'h+\lambda h')+b\lambda h=c\]

\[p\text{ est une solution de }(E)\Longleftrightarrow a\lambda'h+\lambda(ah'+bh)=c\Longleftrightarrow a\lambda'h=c\]

\[p\text{ est une solution de }(E)\Longleftrightarrow \forall x\in I,\quad \lambda'(x)=\frac{c(x)}{ah(x)}\]

C’est-à-dire si \(\lambda\) est une primitive de la fonction \(\frac{c}{ah}\).

Exercice Résolution par variation de la constante réservé aux comptes

Résolution avec condition initiale

Définition Problème de Cauchy associé

Soient \(a\in\mathbb{R}^*\), \(b\in\mathbb{R}\) et \(c\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Soit \((x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R}\).

On appelle problème de Cauchy associé à l’équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants \(ay'(x)+by(x)=c(x)\) le système

\[\begin{cases}ay'(x)+by(x)=c(x)\\y(x_0)=y_0\end{cases}\]

Théorème Unicité de la solution d’un problème de Cauchy

Soit \((x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R}\).

Soient \(a\in\mathbb{R}^*\), \(b\in\mathbb{R}\) et \(c\) une fonction continue sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).

Le problème de Cauchy

\[\begin{cases}ay'(x)+by(x)=c(x)\\y(x_0)=y_0\end{cases}\quad\text{admet une unique solution.}\]

Exercice Résolution avec annulation imposée réservé aux comptes