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Dérivée d’une fonction à valeurs complexes
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- Dérivée d’une fonction
Dérivée d’une fonction à valeurs complexes
Définition Dérivabilité à valeurs complexes
Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{C}\) est dérivable sur \(I\) si ses parties réelle et imaginaire sont dérivables sur \(I\).
La dérivée de \(f=\operatorname{Re}(f)+i\operatorname{Im}(f)\) est alors :
\[f'=(\operatorname{Re}(f))'+i(\operatorname{Im}(f))'\]
Théorème Dérivées d’exponentielles complexes
Soit \(\alpha\) un complexe. La fonction \(x\mapsto e^{\alpha x}\), de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{C}\), est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a :
\[(e^{\alpha x})'=\alpha e^{\alpha x}\]
Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{C}\). La fonction \(x\mapsto e^{f(x)}\), de \(I\) dans \(\mathbb{C}\), est dérivable sur \(I\) et on a :
\[(e^{f(x)})'=f'(x)e^{f(x)}\]