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Module

Continuité sur un intervalle

Domaine
Analyse
Prérequis
Continuité en un point
Notations
Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), Ensemble des fonctions continues sur un intervalle

Continuité sur un intervalle

Définition Continuité sur un intervalle

Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).

On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si \(f\) est continue en tout point de \(I\).

Exemple résolu Fonctions continues usuelles réservé aux comptes

Propriété Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\).

\[|f|,\ \alpha f+\beta g\ \text{ où }(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,\ \text{et }fg\ \text{sont continues sur }I\]
\[g\ \text{ne s’annule pas sur }I\Longrightarrow\frac{f}{g}\ \text{est continue sur }I\]

Corollaire Continuité des fonctions usuelles sur leur domaine

  • Une fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).

  • Une fraction rationnelle est continue sur tout intervalle où elle est définie.

  • Les fonctions usuelles \(x\mapsto\sin x\), \(x\mapsto\ln x\), … sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition.

Propriété Composition de fonctions continues sur un intervalle

\[f\in\mathcal{C}^0(I),\quad g\in\mathcal{C}^0(J),\quad f(I)\subset J\Longrightarrow g\circ f\ \text{est continue sur }I\]

Exemple résolu Étude de continuité d’une fonction oscillante réservé aux comptes

Exemple résolu Étude de continuité d’une fonction affine par morceaux réservé aux comptes

Exemple résolu Étude de continuité d’une fonction logarithmique par morceaux réservé aux comptes