Module

Bases de sous-espaces vectoriels

Domaine: Algèbre
Prérequis: Familles libres et familles liées de vecteurs
Notations: Notation du sous-espace engendré

Bases et coordonnées dans un sous-espace vectoriel

Définition Base d’un sous-espace vectoriel

Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Une famille finie de vecteurs de \(E\) est une base de \(E\) si c’est une famille libre et génératrice de \(E\).

Exemple résolu Étude de familles candidates à une base de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Exemple résolu Famille de deux vecteurs et base de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Exemple résolu Famille de trois vecteurs et base de \(\mathbb{R}^2\) réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’une base de \(\mathbb{R}^n\) réservé aux comptes

Exemple résolu Base d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) à un paramètre réservé aux comptes

Exemple résolu Base d’un sous-espace de \(\mathbb{R}^3\) à deux paramètres réservé aux comptes

Exemple résolu Base d’un sous-espace homogène de \(\mathbb{R}^3\) réservé aux comptes

Exemple résolu Base et coordonnées dans un sous-espace engendré réservé aux comptes

Théorème Caractérisation d’une base par l’unicité des coordonnées

Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\).

Une famille \(\mathcal{B}\) est une base de \(E\) si et seulement si tout vecteur de \(E\) s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs de \(\mathcal{B}\).

Autrement dit, une famille \(\mathcal{B}=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\) est une base de \(E\) si et seulement si :

\[\forall u\in E,\quad\exists!(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\quad u=\sum_{i=1}^{p}\lambda_i u_i\]

Définition Coordonnées d’un vecteur dans une base

La famille \((\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\) est alors appelée famille des coordonnées de \(u\) dans la base \(\mathcal{B}\).

Remarques Remarques

Remarque Ordre des vecteurs d’une base

Attention à l’ordre des vecteurs de la base.

Notation Représentation matricielle d’un vecteur dans une base

Soit \(E\) un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), muni d’une base \(\mathcal{B}=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\).

Tout vecteur \(u\) de \(E\) admet des coordonnées \((\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_p)\) dans cette base \(\mathcal{B}\).

On peut donc représenter \(u\) par une matrice colonne des coordonnées du vecteur \(u\) dans la base \(\mathcal{B}\) :

\[\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u)=\begin{pmatrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_p\end{pmatrix}\]