Terme
Valeur intermédiaire
Définition
Théorème Valeurs intermédiaires
Théorème admis.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\).
Soit \(y\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors toute valeur intermédiaire \(y\) à \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte par \(f\) sur \([a,b]\).
Plus précisément, il existe un réel \(x\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que \(f(x)=y\).
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Figure Valeur intermédiaire atteinte
Une valeur intermédiaire de la fonction est atteinte entre les abscisses \(a\) et \(b\).
Exemple résolu Recherche d’un zéro et signe constant réservé aux comptes
Corollaire Existence d’un zéro par changement de signe
Remarque Signe constant en l’absence de zéro
Autrement dit, sur un intervalle, une fonction continue qui ne s’annule pas garde un signe constant.
Exemple résolu Existence de solutions d’une équation polynomiale réservé aux comptes
Figures
Figure Valeur intermédiaire atteinte
Une valeur intermédiaire de la fonction est atteinte entre les abscisses \(a\) et \(b\).
Remarque Existence d’une solution
Ce théorème donne l’existence d’une solution à l’équation \(f(x)=y\).