Terme
Polynôme caractéristique
- Expression
- polynôme caractéristique, polynômes caractéristiques
- Symbole
- \(C_f\), \(C_A\)
- Termes plus larges
- Polynôme
- Cas particulier de
- Polynôme
Définition
Définition Polynôme caractéristique d’un endomorphisme et d’une matrice
\[f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\]
Le polynôme caractéristique de \(f\), noté \(C_f\), est le déterminant de \(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n}\).
\[C_f(\lambda)=\operatorname{det}(f-\lambda\operatorname{Id}_{\mathbb{R}^n})\]
\[A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\]
Le polynôme caractéristique de \(A\), noté \(C_A\), est le déterminant de \(A-\lambda I_n\).
\[C_A(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I_n)\]
Exemple résolu Calcul du polynôme caractéristique d’un endomorphisme associé à une matrice réservé aux comptes
Module : Polynôme caractéristique
Remarques Remarques
Remarque Invariance par choix de base
Soient \(\mathcal{B}\) une base de \(\mathbb{R}^n\) et \(f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) de matrice \(A=\mathcal{M}_{\mathcal{B}}(f)\). Alors \(C_A=C_f\).
Remarque Degré et coefficient dominant
\(C_f\) est un polynôme de degré \(n\), de coefficient dominant \((-1)^n\).
Remarque Invariance par similarité
Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
Contre-exemple Même polynôme caractéristique sans similarité réservé aux comptes