Terme
Inverse d’une matrice
- Expression
- inverse de \(A\), inverses l’une de l’autre
- Nom
- inverse
- Termes plus larges
- Matrice inversible
- Condition de définition
- Matrice inversible
Définition
Définition Matrice inversible et matrice inverse
Une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est inversible s’il existe une matrice \(B\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que l’on ait \(AB=BA=I_n\).
Lorsque \(B\) existe, \(B\) est unique et est appelée inverse de \(A\).
L’inverse de \(A\) est notée \(A^{-1}\).
Exercice Matrices inverses de trois par trois réservé aux comptes
Exercice Inverse d’une matrice nilpotente décalée réservé aux comptes
Exercice Inverse d’une matrice par combinaison linéaire réservé aux comptes
Module : Matrices inversibles
Remarques Remarques
Remarque Produit avec l’inverse
On a donc \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n\).
Remarque Vérification d’une seule égalité
Bien que le produit matriciel ne soit pas commutatif dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on admet que l’une des deux égalités \(AB=I_n\) ou \(BA=I_n\) implique l’autre.
Autrement dit, si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(AB=I_n\) alors les matrices \(A\) et \(B\) sont inversibles et inverses l’une de l’autre (et on a : \(BA=I_n\)).
L’intérêt de cette remarque est de ne pas avoir à vérifier \(AB=I_n\) et \(BA=I_n\), une seule égalité suffit mais il est indispensable d’avoir des matrices carrées.
En effet,
Remarque Notation de l’ensemble des matrices inversibles
On note \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices inversibles d’ordre \(n\).