Terme
Fonction strictement croissante
- Expression
- strictement croissante
- Termes plus larges
- Monotonie d’une fonction
- Termes plus spécifiques
- Fonction strictement monotone
- Cas particulier de
- Monotonie d’une fonction
- Condition de définition de
- Fonction strictement monotone
Définition
Définition Croissance et décroissance
Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).
On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\).
On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\).
On dit que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\).
On dit que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\).
On dit que \(f\) est monotone sur \(I\) si \(f\) est croissante ou décroissante sur \(I\).
On dit que \(f\) est strictement monotone sur \(I\) si \(f\) est strictement croissante ou strictement décroissante sur \(I\).
Module : Monotonie d’une fonction
Remarques Remarques
Remarque Taux d’accroissement et monotonie
Étudier la monotonie de \(f\) revient à étudier le signe du taux d’accroissement
défini pour tout \(x\in I\), pour tout \(y\in I\), avec \(x\ne y\).
Remarque Lien entre monotonie et dérivée
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\).
\(f\) est croissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\geq 0\).
\(f\) est décroissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\leq 0\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)>0\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)<0\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Si \(f'\) est positive sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(f'\) est négative sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).