Terme

Fonction arc tangente

Expression: fonction Arc tangente, Arc tangente
Symbole: Arctan
Termes plus larges: Fonction tangente, Fonction réciproque d’une bijection
Fonction réciproque: Fonction tangente
Cas particulier de: Fonction réciproque d’une bijection

Définition

Définition Fonction réciproque de la restriction de la tangente

On appelle fonction Arc tangente, notée \(\operatorname{Arctan}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

Module : Fonction arc tangente

Définition formelle

Définition Fonction réciproque de la restriction de la tangente

On appelle fonction Arc tangente, notée \(\operatorname{Arctan}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

Module : Fonction arc tangente

Propriété Bijection et identités de la fonction arc tangente

La fonction Arc tangente est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\), continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \operatorname{Arctan}x\text{ est l’unique angle de }]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\text{ dont la tangente vaut }x\]

\[\forall x\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[,\quad \operatorname{Arctan}(\tan x)=x\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \tan(\operatorname{Arctan}x)=x\]

Exemple résolu Calcul de la fonction arc tangente d’une tangente réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’un angle avec la fonction arc tangente réservé aux comptes

Exemple résolu Équations avec les fonctions tangente et arc tangente réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Égalité de deux tangentes

\[\forall(a,b)\in\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\right)^2,\quad \tan a=\tan b\Longleftrightarrow a=b+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par la tangente

\[\forall(a,b)\in\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\right)^2,\quad a=b\Longrightarrow\tan a=\tan b\]

Remarque Injectivité de la tangente sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[^2,\quad \tan a=\tan b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc tangente

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)
\(\operatorname{Arctan}x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)

Module : Fonction arc tangente

Figures

Figure Courbe de la fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction Arc tangente.

Module : Fonction arc tangente