Module

Fonction arc tangente

Domaine: Trigonométrie
Prérequis: Fonction tangente

Fonction arc tangente

Propriété Restriction bijective de la fonction tangente

La fonction tangente est continue et strictement croissante sur \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

\[\lim_{x\to-\frac{\pi}{2}^{+}}\tan x=-\infty\quad\text{et}\quad\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan x=+\infty\]

Elle réalise une bijection de \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) sur \(\mathbb{R}\).

Définition Fonction réciproque de la restriction de la tangente

On appelle fonction Arc tangente, notée \(\operatorname{Arctan}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction tangente à l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).

Propriété Bijection et identités de la fonction arc tangente

La fonction Arc tangente est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\), continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \operatorname{Arctan}x\text{ est l’unique angle de }]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\text{ dont la tangente vaut }x\]

\[\forall x\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[,\quad \operatorname{Arctan}(\tan x)=x\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \tan(\operatorname{Arctan}x)=x\]

Exemple résolu Calcul de la fonction arc tangente d’une tangente réservé aux comptes

Exemple résolu Détermination d’un angle avec la fonction arc tangente réservé aux comptes

Exemple résolu Équations avec les fonctions tangente et arc tangente réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Égalité de deux tangentes

\[\forall(a,b)\in\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\right)^2,\quad \tan a=\tan b\Longleftrightarrow a=b+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par la tangente

\[\forall(a,b)\in\left(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\right\}\right)^2,\quad a=b\Longrightarrow\tan a=\tan b\]

Remarque Injectivité de la tangente sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[^2,\quad \tan a=\tan b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc tangente

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)
\(\operatorname{Arctan}x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)

Propriété Parité de la fonction arc tangente

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \operatorname{Arctan}(-x)=-\operatorname{Arctan}x\]

La fonction Arc tangente est impaire.

Propriété Dérivabilité de la fonction arc tangente

La fonction Arc tangente est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on a :

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \operatorname{Arctan}'x=\frac{1}{1+x^2}\]

Corollaire Dérivée d’une composée avec la fonction arc tangente

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\).

La fonction \(\operatorname{Arctan}\circ u\) est définie sur \(I\) et elle est dérivable sur \(I\), donc continue sur \(I\), et on a :

\[\forall x\in I,\quad (\operatorname{Arctan}\circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{1+u^2(x)}\]

Propriété Variations et représentation graphique de la fonction arc tangente

Tableau de variation et représentation graphique de la fonction Arc tangente.

Comme \(\lim_{x\to-\infty}\operatorname{Arctan}x=-\frac{\pi}{2}\) et \(\lim_{x\to+\infty}\operatorname{Arctan}x=\frac{\pi}{2}\), la courbe admet deux asymptotes horizontales, d’équations \(y=-\frac{\pi}{2}\) et \(y=\frac{\pi}{2}\).

Tableau Variations de la fonction arc tangente

Tableau de variations.

Figure Courbe de la fonction arc tangente

Représentation graphique de la fonction Arc tangente.

Exemple résolu Images par la fonction arc tangente au carré réservé aux comptes

Exemple résolu Simplification d’une somme d’arc tangentes réservé aux comptes