Terme

Fonction arc sinus

Expression: fonction Arc sinus, Arc sinus
Symbole: Arcsin
Termes plus larges: Fonction sinus, Fonction réciproque d’une bijection
Fonction réciproque: Fonction sinus
Cas particulier de: Fonction réciproque d’une bijection

Définition

Définition Fonction réciproque de la restriction du sinus

On appelle fonction Arc sinus, notée \(\operatorname{Arcsin}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction sinus à l’intervalle \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

Module : Fonction arc sinus

Définition formelle

Définition Fonction réciproque de la restriction du sinus

On appelle fonction Arc sinus, notée \(\operatorname{Arcsin}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction sinus à l’intervalle \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

Module : Fonction arc sinus

Propriété Bijection et identités de la fonction arc sinus

La fonction Arc sinus est une bijection de \([-1,1]\) sur \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), continue et strictement croissante sur \([-1,1]\).

\[\forall x\in[-1,1],\quad \operatorname{Arcsin}x\text{ est l’unique angle de }[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\text{ dont le sinus vaut }x\]

\[\forall x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\quad \operatorname{Arcsin}(\sin x)=x\]

\[\forall x\in[-1,1],\quad \sin(\operatorname{Arcsin}x)=x\]

Exemple résolu Calculs de valeurs de la fonction arc sinus réservé aux comptes

Exemple résolu Équations avec la fonction arc sinus réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Égalité de deux sinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad \sin a=\sin b\Longleftrightarrow a=b+2k\pi\text{ ou }a=\pi-b+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par le sinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad a=b\Longrightarrow\sin a=\sin b\]

Remarque Injectivité du sinus sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]^2,\quad \sin a=\sin b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc sinus

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\operatorname{Arcsin}x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)

Module : Fonction arc sinus

Figures

Figure Courbe de la fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction Arc sinus.

Module : Fonction arc sinus