Intégration sur un segment

Plan

1. 1 Intégrale d’une fonction continue sur un segment

   • Intégrale et aire
     • Unité d’aire dans un repère orthogonal
     • Fonction continue sur un intervalle
     • Intégrale d’une fonction continue positive
     • Aire algébrique associée à une intégrale
     • Valeur moyenne d’une fonction sur un segment
     • Relation de Chasles
     • Linéarité de l’intégrale
     • Positivité de l’intégrale
     • Croissance de l’intégrale
     • Majoration de la valeur absolue d’une intégrale

2. 2 Calcul intégral

   • Calcul intégral
     • Primitive s’annulant en un point
     • Existence et évaluation des primitives
     • Dérivée d’une intégrale à bornes variables
     • Obtention de la formule d’intégration par parties
     • Formule d’intégration par parties
     • Formule d’intégration par parties pour les primitives
     • Primitive de \(\ln x\)
     • Écriture du changement de variable
     • Formule de changement de variable
     • Formule de changement de variable pour les primitives
     • Intégrale d’une fonction périodique
     • Intégrales de fonctions paires et impaires

Objectifs

Révisions et définition de l’intégrale

Prérequis et définition

• Révision du calcul de primitives

  Revoir les objectifs du calcul de primitives.

  Utiliser · Calcul de primitives

• Intégrale d’une fonction continue positive

  Connaître la définition de l’intégrale dans le cas d’une fonction continue et positive sur un segment.

  Connaître, définir · Intégrale d’une fonction continue positive

• Intégrale d’une fonction continue

  Connaître la définition de l’intégrale dans le cas d’une fonction continue sur un segment.

  Connaître, définir · Aire algébrique associée à une intégrale

Propriétés de l’intégrale

Propriétés fondamentales

• Relation de Chasles

  Connaître la relation de Chasles.

  Connaître, appliquer · Relation de Chasles

• Linéarité

  Connaître la linéarité de l’intégrale.

  Connaître, appliquer · Linéarité de l’intégrale

• Positivité

  Connaître et utiliser la positivité de l’intégrale lorsque les bornes vérifient \(a\leq b\).

  Connaître, utiliser · Positivité de l’intégrale

• Croissance

  Connaître et utiliser la croissance de l’intégrale lorsque les bornes vérifient \(a\leq b\).

  Connaître, utiliser · Croissance de l’intégrale

• Inégalité portant sur la valeur absolue

  Connaître et utiliser l’inégalité \(\left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\leq\int_a^b\left|f(t)\right|\,dt\) lorsque les bornes vérifient \(a\leq b\).

  Connaître, utiliser · Majoration de la valeur absolue d’une intégrale

• Fonctions périodiques, paires et impaires

  Connaître les propriétés de l’intégrale dans le cas d’une fonction périodique, paire ou impaire. Faire attention aux bornes de l’intégrale avant d’appliquer ces propriétés.

  Connaître, utiliser · Intégrales de fonctions périodiques, paires et impaires

Fonctions définies par une intégrale

Intégrales à bornes variables

• Primitive s’annulant en un point

  Savoir que, si \(f\) est continue sur \(I\) et \(a\in I\), la fonction définie par \(x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est l’unique primitive de \(f\) sur \(I\) qui s’annule en \(a\).

  Connaître, utiliser · Primitive s’annulant en un point

• Dérivée d’une intégrale à borne variable

  Savoir que, si \(f\) est continue sur \(I\) et \(a\in I\), la fonction \(F:x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) et vérifie \(F'(x)=f(x)\) pour tout \(x\in I\). Faire attention aux lettres utilisées.

  Connaître, déterminer · Primitive s’annulant en un point, Dérivée d’une intégrale à bornes variables

• Intégrale d’une dérivée

  Savoir que, si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) et si \(a,b\in I\), alors \(\int_a^b f'(t)\,dt=f(b)-f(a)\).

  Connaître, calculer · Existence et évaluation des primitives

Méthodes de calcul intégral

Méthodes et primitives particulières

• Primitives usuelles

  Connaître les méthodes de calcul d’intégrale à partir de primitives usuelles.

  Connaître, calculer · Calcul de primitives

• Intégration par parties

  Connaître et utiliser l’intégration par parties pour deux fonctions \(u\) et \(v\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\).

  Connaître, calculer, utiliser · Intégration par parties

• Changement de variable

  Connaître et utiliser le changement de variable.

  Connaître, calculer, utiliser · Changement de variable

• Primitive de l’inverse de \(x^2+a^2\)

  Savoir déterminer une primitive de la fonction suivante :

  \[x\mapsto\frac{1}{x^2+a^2}\]

  Déterminer · Exemple résolu

• Primitive de l’inverse de \(\sqrt{a^2-x^2}\)

  Savoir déterminer une primitive de la fonction suivante :

  \[x\mapsto\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\]

  Déterminer · Exemple résolu