Terme

Binôme de Newton

Expression: binôme de Newton, formule du binôme de Newton
Termes plus larges: Coefficient binomial
Emploie: Coefficient binomial

Définition

Théorème Développement du binôme de Newton

Soient \(a\) et \(b\) deux réels (ou deux complexes), \(n\) un entier naturel non nul.

\[\begin{aligned}(a+b)^n={}&a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\binom{n}{3}a^{n-3}b^3+\cdots\\&+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\cdots+b^n\end{aligned}\]

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

Remarques Remarques

Remarque Développement d’une différence

\[(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k(-b)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k a^{n-k}b^k\]

\[\begin{aligned}(a-b)^n={}&a^n-\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2-\binom{n}{3}a^{n-3}b^3+\cdots\\&+\binom{n}{k}(-1)^k a^{n-k}b^k+\cdots+(-1)^n b^n\end{aligned}\]

Exemple résolu Développements et sommes binomiales réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Identification des lettres

Attention aux lettres !

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^k1^{n-k}=4^n\]

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^n=3^n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^k1^{n-k}=3^n2^n=6^n\]

Module : Formule du binôme de Newton