Module
Équations différentielles linéaires du premier ordre
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Dérivée d’une fonction
Présentation et généralités
Définition Équation linéaire du premier ordre et équation homogène associée
\(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\). Dans ce chapitre, on s’intéresse à l’équation différentielle d’ordre \(1\) suivante :
où \(a\) et \(b\) sont deux fonctions continues sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\), et à son équation homogène associée :
Résoudre \((E)\), c’est déterminer toutes les fonctions \(x\mapsto y(x)\) dérivables sur cet intervalle à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que l’on ait \(\forall x\text{ de cet intervalle},\ y'(x)+a(x)y(x)=b(x)\).
Théorème Combinaison linéaire de solutions homogènes
Si \(h_1\) et \(h_2\) sont deux solutions de \((H)\), alors, pour tout \((\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\), \(\lambda h_1+\mu h_2\) est solution de \((H)\).
Théorème Décomposition de la solution générale
La solution générale de \((E)\) est la somme d’une solution particulière de \((E)\) et de la solution générale de \((H)\).
Résolution de l’équation homogène associée
Théorème Solution générale de l’équation homogène
Soit \((H)\), \(y'(x)+a(x)y(x)=0\), où \(a\) est une fonction continue sur l’intervalle considéré à valeurs dans \(\mathbb{R}\). La solution générale de \((H)\) sur cet intervalle est donnée par :
où \(A\) est une primitive de \(a\) sur cet intervalle, \(\lambda\) une constante de \(\mathbb{R}\).
Exemple résolu Résolution d’une équation homogène à coefficient affine réservé aux comptes
Résolution de l’équation avec second membre
Méthode Recherche d’une solution évidente
On résout d’abord \((H)\). On détermine ensuite une solution particulière de \((E)\). Il se peut que \((E)\) admette une solution évidente.
Exemple résolu Recherche d’une solution évidente d’une équation avec second membre réservé aux comptes
Méthode Variation de la constante
Soit \((E)\), \(y'(x)+a(x)y(x)=b(x)\), où \(a\) et \(b\) sont des fonctions continues sur l’intervalle considéré à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Soit \(h\) une solution non nulle de l’équation homogène associée. On cherche une solution particulière de \((E)\) sous la forme \(p(x)=\lambda(x)h(x)\), \(\lambda\) étant une fonction dérivable sur cet intervalle.
Démonstration Condition sur la fonction λ
Soit \(\lambda\) une fonction dérivable sur l’intervalle considéré et \(p\) la fonction définie par \(p=\lambda h\). La fonction \(p\) est définie et dérivable sur cet intervalle.
Or \(h\) est une solution non nulle de l’équation homogène associée : \(h'+ah=0\).
\(p\) est une solution de \((E)\) si et seulement si la fonction \(\lambda\) vérifie, pour tout \(x\) de l’intervalle considéré, \(\lambda'(x)=\frac{b(x)}{h(x)}\), c’est-à-dire si \(\lambda\) est une primitive de la fonction \(\frac{b}{h}\).
Exemple résolu Variation de la constante avec un second membre polynomial réservé aux comptes
Exemple résolu Variation de la constante avec un second membre exponentiel réservé aux comptes
Principe de superposition des solutions
Théorème Superposition de solutions associées à deux seconds membres
Soit \((E)\), \(y'(x)+a(x)y(x)=b_1(x)+b_2(x)\), où \(a\), \(b_1\) et \(b_2\) sont des fonctions continues sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On suppose que \(y_1\) est une solution de l’équation \((E_1)\), \(y'(x)+a(x)y(x)=b_1(x)\), et que \(y_2\) est une solution de l’équation \((E_2)\), \(y'(x)+a(x)y(x)=b_2(x)\).
Ainsi, \(y_1+y_2\) est une solution de \((E)\).
Exemple résolu Résolution d’une équation avec cosinus et arc tangente réservé aux comptes
Résolution avec condition initiale
Théorème Solution à un problème de Cauchy
Soit \((x_0,y_0)\in I\times\mathbb{R}\). Soient \(a\) et \(b\) des fonctions continues sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Le problème de Cauchy suivant admet une unique solution :
Exemple résolu Résolution sur un intervalle avec condition en zéro réservé aux comptes
Recollement des solutions
Exemple résolu Résolution et recollement sur la droite réelle réservé aux comptes
Méthode Méthode de recollement
On commence par résoudre l’équation sur un intervalle. La résolution sur chaque intervalle nous fournit des constantes a priori indépendantes entre elles.
On se demande dans un second temps à quelle(s) condition(s) sur les constantes obtenues à l’étape précédente on peut effectuer le recollement en effectuant un raisonnement par analyse synthèse.
On obtient parfois aucune solution, parfois un nombre fini de solutions ou encore une infinité de solutions. En bref tout est possible…
Remarque Réduction à la forme normalisée
Pour résoudre une équation différentielle de la forme \(\beta(x)y'(x)+\gamma(x)y(x)=\delta(x)\), on se ramène à la résolution d’une équation de la forme \(y'(x)+a(x)y(x)=b(x)\) sur chaque intervalle où \(\beta\) ne s’annule pas :