Module
Théorèmes fondamentaux des fonctions continues
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Continuité sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème Valeurs intermédiaires
Théorème admis.
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\).
Soit \(y\) un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\). Alors toute valeur intermédiaire \(y\) à \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte par \(f\) sur \([a,b]\).
Plus précisément, il existe un réel \(x\) compris entre \(a\) et \(b\) tel que \(f(x)=y\).
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Figure Valeur intermédiaire atteinte
Une valeur intermédiaire de la fonction est atteinte entre les abscisses \(a\) et \(b\).
Exemple résolu Recherche d’un zéro et signe constant réservé aux comptes
Corollaire Existence d’un zéro par changement de signe
Remarque Signe constant en l’absence de zéro
Autrement dit, sur un intervalle, une fonction continue qui ne s’annule pas garde un signe constant.
Exemple résolu Existence de solutions d’une équation polynomiale réservé aux comptes
Théorème Bornes atteintes sur un segment
Théorème admis.
Toute fonction, continue sur un segment, possède un maximum et un minimum.
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Corollaire Bornitude et bornes atteintes sur un segment
Toute fonction continue sur un segment est bornée sur ce segment et atteint ses bornes.
Caractérisation Image et extrémums sur un segment
Si \(f\) est une fonction continue sur \([a,b]\) avec \(a<b\), alors :
Exemple résolu Image d’un segment par une fonction polynomiale réservé aux comptes
Exemple résolu Image des réels par une fonction rationnelle réservé aux comptes
Exemple résolu Images d’intervalles par la fonction carrée réservé aux comptes
Exemple résolu Limite d’une composition avec le sinus réservé aux comptes
Remarque Existence d’une solution
Ce théorème donne l’existence d’une solution à l’équation \(f(x)=y\).