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Théorème de Rolle
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Théorème de Rolle
Théorème Existence d’un point de dérivée nulle
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).
On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), et \(f(b)=f(a)\).
Figure Fonction aux extrémités de même image
Illustration des hypothèses du théorème de Rolle.
Explication Interprétation cinématique
Pour un mouvement rectiligne où l’on repère le mobile par son abscisse \(x(t)\) à l’instant \(t\), la vitesse instantanée à l’instant \(c\) est
Un point mobile qui revient à son point de départ a vu sa vitesse s’annuler à un instant donné.
Remarques Remarques
Remarque Nécessité de la continuité
L’hypothèse de continuité sur \([a,b]\) est vraiment nécessaire : \(f\) peut être dérivable sur \(]a,b[\) avec \(f(b)=f(a)\) sans que sa dérivée ne s’annule sur \(]a,b[\).
Ces hypothèses de continuité sur \([a,b]\) et de dérivabilité sur \(]a,b[\) sont les hypothèses minimales de régularité de \(f\).
En pratique, on appliquera ce théorème à une fonction dérivable sur \([a,b]\), ce qui suffit pour qu’elle soit continue sur \([a,b]\) et de dérivabilité sur \(]a,b[\).
Figure Fonction non continue contredisant la conclusion
Contre-illustration de l’hypothèse de continuité.
Exemple résolu Annulation unique d’une dérivée réservé aux comptes
Explication Interprétation graphique
Il existe au moins un point de la courbe représentative de \(f\) en lequel la tangente est horizontale.