Module
Opérations et primitives
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Primitives et intégrales
Opérations sur les primitives
Propriété Combinaisons linéaires de primitives
Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\) et \(G\) une primitive de \(g\) sur \(I\).
\(kF\) est une primitive de \(kf\) sur \(I\), pour tout réel \(k\).
Théorème Primitives de compositions usuelles
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors :
\[\alpha\in\mathbb{R}^*\setminus\{-1\},\quad x\mapsto u^\alpha(x)\text{ définie sur }I\quad\Longrightarrow\quad \int u'u^\alpha=\dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\]
\[\forall x\in I,\quad u(x)\ne0\quad\Longrightarrow\quad \int\dfrac{u'}{u^2}=-\dfrac{1}{u}+C\]
\[\forall x\in I,\quad u(x)>0\quad\Longrightarrow\quad \int\dfrac{u'}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C\]
\[\forall x\in I,\quad u(x)\ne0\quad\Longrightarrow\quad \int\dfrac{u'}{u}=\ln\lvert u\rvert+C\]
\[\int u'e^u=e^u+C\]
\[\int u'\sin u=-\cos u+C\]
\[\int u'\cos u=\sin u+C\]
\[\forall x\in I,\quad u(x)\ne\dfrac{\pi}{2}\ [\pi]\quad\Longrightarrow\quad \int\dfrac{u'}{\cos^2u}=\int u'(1+\tan^2u)=\tan u+C\]
Primitives des éléments simples de première espèce
Méthode Primitives des éléments simples de première espèce
\[\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \int\dfrac{dx}{(x-a)^n}\]
Les fractions \(\dfrac{1}{(X-a)^n}\) sont des éléments simples de première espèce, ils interviennent lors de décomposition en éléments simples.
Si \(n=1\),
\[\int\dfrac{dx}{x-a}=\ln\lvert x-a\rvert+\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{R}\]
Si \(n\geq2\),
\[\int\dfrac{dx}{(x-a)^n}=\int(x-a)^{-n}\,dx\]
\[\int\dfrac{dx}{(x-a)^n}=\dfrac{(x-a)^{-n+1}}{-n+1}+\lambda\]
\[\int\dfrac{dx}{(x-a)^n}=\dfrac{-1}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{R}\]
Exemple résolu Calcul de primitives avec compositions et décompositions réservé aux comptes
Exemple résolu Primitives de puissances trigonométriques réservé aux comptes