Module

Limites et inégalités de suites

Domaine: Analyse
Prérequis: Suites convergentes
Notations: Ensemble des suites à valeurs réelles

Limites et inégalités

Théorème Passage à la limite dans les inégalités larges

Soient \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) deux suites convergentes de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).

\[\left(\forall n\geq n_0,\ u_n\geq0\right)\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n\geq0\]

\[\left(\forall n\geq n_0,\ u_n\geq v_n\right)\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n\geq\lim_{n\to+\infty}v_n\]

Remarques Remarques

Remarque Inégalités strictes

On ne peut pas affiner le résultat précédent en utilisant une inégalité stricte.

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ u_n=\dfrac{1}{n}\).

\[\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad u_n>0\qquad\text{et}\qquad\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]

On considère les suites \((v_n)\) et \((w_n)\) définies par \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ v_n=1+\dfrac{1}{n}\) et \(w_n=1-\dfrac{1}{n}\).

\[\forall n\in\mathbb{N}^{*},\quad v_n>w_n\qquad\text{et}\qquad\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=1\]

Soient \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) deux suites convergentes de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).

\[\left(\forall n\geq n_0,\ u_n>0\right)\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n\geq0\]

\[\left(\forall n\geq n_0,\ u_n>v_n\right)\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n\geq\lim_{n\to+\infty}v_n\]

Remarque Conditions d’application

Que peut-on dire de l’inégalité \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \cos n-3<\dfrac{1}{n}\) ?

Que peut-on dire de l’inégalité \(\forall n\in\mathbb{N}^{*},\ \dfrac{1}{n^2}<(-1)^n+3\) ?

On ne peut utiliser le théorème que si les deux suites convergent.

Il permet uniquement de comparer des limites déjà existantes et non de calculer une limite d’une suite, contrairement aux théorèmes d’encadrement et de comparaison.

Théorème Existence de limite par encadrement

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) telles que, à partir d’un certain rang :

\[u_n\leq v_n\leq w_n\]

Si les suites \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers le même réel, alors \((v_n)\) converge et :

\[\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n\]

Exemple résolu Convergence d’une somme encadrée réservé aux comptes

Corollaire Convergence par majoration en valeur absolue

Soient \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) deux suites de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) telles que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(|u_n|\leq v_n\).

Si la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\), alors la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).

Comparaison de limites infinies

Théorème Comparaison avec une limite infinie

Soient \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) deux suites de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) telles que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(u_n\leq v_n\).

\[\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty\]

\[\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty\Longrightarrow\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\]

Exemple résolu Convergence d’une suite à numérateur trigonométrique réservé aux comptes

Exemple résolu Divergence d’une suite somme réservé aux comptes