Module

Limites et inégalités

Domaine: Analyse
Prérequis: Opérations sur les limites
Notations: Ensemble des réels achevés, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Comparaison et encadrement des limites

Propriété Comparaison de limites

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\). Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). On suppose que l’on a \(f\le g\), au voisinage de \(a\).

\[\lim_{a}f=l\qquad\text{et}\qquad\lim_{a}g=l'\qquad\left((l,l')\in\mathbb{R}^2\right)\qquad\Longrightarrow\qquad l\le l'\]

\[\lim_{a}f=+\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{a}g=+\infty\]

\[\lim_{a}g=-\infty\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{a}f=-\infty\]

Exemple résolu Comparaison de limites réservé aux comptes

Propriété Encadrement des limites

Soient \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\). Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). On suppose que \(f\le g\le h\) au voisinage de \(a\).

\[\lim_{a}f=\lim_{a}h=l\qquad\left(l\in\overline{\mathbb{R}}\right)\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{a}g=l\]

Exemple résolu Encadrement d’une limite réservé aux comptes

Corollaire Domination par une fonction de limite nulle

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\). Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). On suppose que \(|f|\le g\) au voisinage de \(a\).

\[\lim_{a}g=0\qquad\Longrightarrow\qquad\lim_{a}f=0\]

Exemple résolu Domination de limites réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Condition de finitude

On ne peut passer à la limite dans une inégalité que si on sait que les fonctions ont une limite finie en \(a\).

Par exemple, on suppose que \(f(x)>k\) où \(k\) est une constante. Si l’on sait que \(f\) admet une limite finie en \(a\), alors on a \(\lim_{a}f\ge k\).

Remarque Inégalité large après passage à la limite

\[\forall x>1,\qquad\frac{1}{x^2}<\frac{1}{x}\qquad\text{mais}\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0\]

Le passage à la limite dans une inégalité, qu’elle soit stricte ou non, donne pour résultat une inégalité large.

Propriété Passage d’une inégalité stricte à la limite

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\). Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\). On suppose que l’on a \(f<g\), au voisinage de \(a\).

\[\lim_{a}f=l\qquad\text{et}\qquad\lim_{a}g=l'\qquad\left((l,l')\in\mathbb{R}^2\right)\qquad\Longrightarrow\qquad l\le l'\]