Est-il vrai que si j’ai 18 ans, alors j’ai le droit de voter ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a<b)\Rightarrow(a\leq b)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a\leq b)\Rightarrow(a<b)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a^2=b^2)\Rightarrow(a=b)\) ?
Définition Démonstration directe d’une implication
C’est démontrer une proposition du type \(P\Rightarrow Q\) : c’est déduire \(Q\) de \(P\), c’est-à-dire démontrer l’assertion \(Q\) sous l’hypothèse \(P\).
Explication Évaluation d’implications
Est-il vrai que si j’ai 18 ans, alors j’ai le droit de voter ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a<b)\Rightarrow(a\leq b)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a\leq b)\Rightarrow(a<b)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a^2=b^2)\Rightarrow(a=b)\) ?
Définition Démonstration directe d’une implication
C’est démontrer une proposition du type \(P\Rightarrow Q\) : c’est déduire \(Q\) de \(P\), c’est-à-dire démontrer l’assertion \(Q\) sous l’hypothèse \(P\).
Exercice Parité du carré d’un entier relatif réservé aux comptes
Exercice Éléments naturels d’un intervalle réservé aux comptes
Exercice Ordre et fonction sinus réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Formulations d’une implication
Pour exprimer que \(P\Rightarrow Q\) est vraie, on peut, selon l’usage, utiliser l’une des expressions suivantes.
\(P\Rightarrow Q\)
\(P\) implique \(Q\).
\(P\) entraîne \(Q\).
Si on a \(P\), alors on a \(Q\).
\(Q\) est une condition nécessaire pour qu’on ait \(P\).
Pour qu’on ait \(P\), il faut (il est nécessaire) qu’on ait \(Q\).
\(P\) est une condition suffisante pour qu’on ait \(Q\).
Pour qu’on ait \(Q\), il suffit (il est suffisant) qu’on ait \(P\).
Remarque Négation d’une implication
L’implication \(P\Rightarrow Q\) est toujours vraie sauf si \(P\) est vraie et \(Q\) est fausse.
Ainsi, la négation de \(P\Rightarrow Q\) est \(P\) et non \(Q\).
Remarque Réciproque d’une implication
La réciproque de l’implication \(P\Rightarrow Q\) est la proposition \(Q\Rightarrow P\).
La réciproque d’une implication vraie n’est pas forcément vraie.
Remarque Transitivité de l’implication
Si l’on a \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow R\), alors on a \(P\Rightarrow R\).
Exercice Résolution d’une équation avec racine carrée réservé aux comptes
Exercice Négation d’une implication quantifiée réservé aux comptes