Module
Fonctions continues par morceaux
- Domaine
- Analyse
- Sous-modules
- Fonctions de classe C¹ par morceaux
- Prérequis
- Continuité sur un intervalle
Continuité par morceaux sur un segment
Définition Fonction continue par morceaux sur un segment
Soit \(f\) une fonction définie sur le segment \([a,b]\), avec \(a<b\).
On dit que \(f\) est continue par morceaux sur \([a,b]\) s’il existe un nombre fini de réels de \([a,b]\) :
\[x_0=a<x_1<\cdots<x_i<x_{i+1}<\cdots<x_n=b\]
tels que, pour tout \(i\in\left[\!\left[0,n-1\right]\!\right]\), la restriction de \(f\) à \(]x_i,x_{i+1}[\) soit continue et prolongeable en une fonction \(\widetilde f_i\) continue sur \([x_i,x_{i+1}]\).
Figure Représentation d’une fonction continue par morceaux
Exemple de représentation graphique.
Remarques Remarques
Remarque Cas d’une fonction continue
Une fonction continue sur \([a,b]\) est continue par morceaux sur \([a,b]\).
Remarque Absence de limite finie
La fonction \(f\), définie sur \([-1,1]\), n’est pas continue par morceaux sur \([-1,1]\) car elle n’a pas de limite finie en \(0^+\).
Remarque Fonction partie entière
La fonction partie entière est continue par morceaux sur tout segment de \(\mathbb R\).