Fonction tangente

Définition Définition, périodicité et parité de la fonction tangente

La fonction tangente est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\) par : \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).

La fonction tangente est périodique de période \(\pi\) puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(x+\pi)=\tan x\).

Il suffit d’étudier la fonction sur un intervalle d’amplitude \(\pi\).

La fonction tangente est impaire puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(-x)=-\tan x\).

Ainsi, la courbe de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine du repère \(O\).

L’intervalle d’étude de la fonction tangente est donc \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).

Propriété Dérivabilité et variations de la fonction tangente

La fonction tangente est dérivable sur les intervalles de la forme \(I_k=\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[\), \(k\in\mathbb{Z}\) (donc continue sur \(I_k\)) :

Signe de la dérivée sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).

Variations de la fonction tangente sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).

La fonction tangente est strictement croissante sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).