Module

Fonction arc cosinus

Domaine: Trigonométrie
Prérequis: Fonction cosinus

Fonction arc cosinus

Propriété Restriction bijective de la fonction cosinus

La fonction cosinus est continue et strictement décroissante sur \([0,\pi]\), avec \(\cos 0=1\) et \(\cos\pi=-1\). Elle réalise donc une bijection de \([0,\pi]\) sur \([-1,1]\).

Définition Fonction réciproque de la restriction du cosinus

On appelle fonction Arc cosinus, notée \(\operatorname{Arccos}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle \([0,\pi]\).

Propriété Bijection et identités de la fonction arc cosinus

La fonction Arc cosinus est une bijection de \([-1,1]\) sur \([0,\pi]\), continue et strictement décroissante sur \([-1,1]\).

\[\forall x\in[-1,1],\quad \operatorname{Arccos}x\text{ est l’unique angle de }[0,\pi]\text{ dont le cosinus vaut }x\]

\[\forall x\in[0,\pi],\quad \operatorname{Arccos}(\cos x)=x\]

\[\forall x\in[-1,1],\quad \cos(\operatorname{Arccos}x)=x\]

Exemple résolu Calculs de valeurs de la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Équations et inéquation avec la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Simplification d’une expression avec la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Centre de symétrie de la courbe

Le résultat de l’exemple de simplification justifie que le point de coordonnées \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) est un centre de symétrie pour la courbe de la fonction Arc cosinus.

Remarque Égalité de deux cosinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad \cos a=\cos b\Longleftrightarrow a=b+2k\pi\text{ ou }a=-b+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par le cosinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad a=b\Longrightarrow\cos a=\cos b\]

Remarque Injectivité du cosinus sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in[0,\pi]^2,\quad \cos a=\cos b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc cosinus

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\operatorname{Arccos}x\)	\(\pi\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(0\)

Propriété Absence de parité de la fonction arc cosinus

La fonction Arc cosinus n’est ni paire ni impaire.

Propriété Dérivabilité de la fonction arc cosinus

La fonction Arc cosinus définie sur \([-1,1]\) est dérivable sur \(]-1,1[\), et l’on a :

\[\forall x\in]-1,1[,\quad \operatorname{Arccos}'x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

Corollaire Dérivée d’une composée avec la fonction arc cosinus

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\).

Si \(\forall x\in I,\ |u(x)|\leq1\), la fonction \(\operatorname{Arccos}\circ u\) est définie et continue sur \(I\).

Si \(\forall x\in I,\ |u(x)|<1\), la fonction \(\operatorname{Arccos}\circ u\) est dérivable sur \(I\), et l’on a :

\[\forall x\in I,\quad (\operatorname{Arccos}\circ u)'(x)=-\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}\]

Propriété Variations et représentation graphique de la fonction arc cosinus

Tableau de variation et représentation graphique de la fonction Arc cosinus.

Tableau Variations de la fonction arc cosinus

Tableau de variations.

Figure Courbe de la fonction arc cosinus

Représentation graphique de la fonction Arc cosinus.

Exemple résolu Simplification d’une somme d’arc cosinus et d’arc sinus réservé aux comptes