Module
Équivalence
- Domaine
- Logique
- Prérequis
- Implication
Équivalence
Définition Démonstration d’une équivalence
C’est démontrer une proposition du type \(P\Leftrightarrow Q\) : c’est montrer \(P\Rightarrow Q\) et \(Q\Rightarrow P\).
Remarque Formulations d’une équivalence
Pour exprimer que \(P\Leftrightarrow Q\) est vraie, on peut utiliser l’une des expressions suivantes.
\(P\Leftrightarrow Q\)
\(P\) équivaut à \(Q\).
On a \(P\) si, et seulement si on a \(Q\).
\(P\) est une condition nécessaire et suffisante pour qu’on ait \(Q\).
\(P\) est une caractérisation de \(Q\).
Exercice Implication et équivalence quantifiées réservé aux comptes
Exercice Équivalences sur les réels positifs réservé aux comptes
Tableau Règles sur les carrés et les racines carrées
Voici des règles souvent utiles.
| Pour tous réels \(a\), \(b\), \(x\) et \(y\), | Pour tous réels positifs \(x\) et \(y\), |
| \(ax=ay\Leftrightarrow(a=0\text{ ou }x=y)\) | \(x^2=y\Leftrightarrow x=\sqrt{y}\) |
| \(a=b\Rightarrow a^2=b^2\) | \(x^2\leq y^2\Leftrightarrow x\leq y\) |
| \(a^2=b^2\Leftrightarrow(a=b\text{ ou }a=-b)\) | Si \(a\geq0\), alors on a : |
| Pour tous réels \(a\) et \(b\) de même signe, | \(x^2\leq a\Leftrightarrow(-\sqrt{a}\leq x\leq\sqrt{a})\) |
| \(a^2=b^2\Rightarrow a=b\) | \(x^2\geq a\Leftrightarrow(x\leq-\sqrt{a}\text{ ou }\sqrt{a}\leq x)\) |
| Pour tous réels \(a\) et \(x\) avec \(a\) positif, | |
| \(x^2=a\Leftrightarrow(x=\sqrt{a}\text{ ou }x=-\sqrt{a})\) |
Explication Évaluation d’équivalences
Est-il vrai que : \(\forall (a,x,y)\in\mathbb{R}^3,\ (ax=ay)\Leftrightarrow(x=y)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2,\ (a^2=b^2)\Leftrightarrow(a=b)\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,x)\in\mathbb{R}^2,\ (x^2=a)\Leftrightarrow(x=\sqrt{a})\) ?
Est-il vrai que : \(\forall (a,x)\in(\mathbb{R}_+)^2,\ (x^2=a)\Leftrightarrow(x=\sqrt{a})\) ?